そこそこ難しい「流水算」の文章題を5つ集めて解いてみた
はじめに
質問サイトの過去ログを見ていて見つけた、そこそこ難しい「流水算」の文章題を5つご紹介します。
自分で解いてみた解答も併せて記します。方程式を用いた中学数学での解き方となります。「流水算」や「方程式」そのものの基本はお分かりである前提での記述となっています(基本部分の解説はしておりません)のでご了承下さい。
※流水算の公式などの基本部分については、本ブログのコチラの別記事に記しています。
解答の考え方や答えには間違いはありませんが、途中式などで誤字脱字などがある場合はご容赦下さい。
そこそこ難しい流水算(その1)
川の上流のA町と下流のB町を同じ船で往復するのに、上りは3時間、下りは2時間かかります、川の流れの速さを、毎時4Kmとし
次の問いに答えなさい。(1)A町からB町までは何Kmですか。
(2)船の静水時の速さは、毎時何Kmですか。
■私が考えた解答(解説)
応用問題としては初級編となります。以下、解答(解説)です。
A町からB町までの距離をx(km)、
船の静水時の速さを毎時y(km)とする。
A町からB町までの距離＝上り速度×3時間 より、
x＝(y－4)×3
右辺を計算すると、
x＝3y－12 …①
A町からB町までの距離＝下り速度×2時間 より、
x＝(y＋4)×2
右辺を計算すると、
x＝2y＋8 …②
①と②は同じxを表しているので、
3y－12＝2y＋8
移行すると、
y＝20 …(2)の答え
yを①に代入すると、
x＝60－12＝48 …(1)の答え
問(1)の答え 48km
問(2)の答え 時速20km
そこそこ難しい流水算(その2)
川に沿って７２０ｋｍ離れたＡ地点とＢ地点を結ぶ連絡船が運航しています。
川の流れの速さは時速２４ｋｍであり、上りの船の速さは下りの船の速さの３分の１です。
連絡船が往復するには何時間かかるでしょうか。ただし、川の流れがないときは上りも下りも船の速さは等しいとします。
■私が考えた解答(解説)
こちらも応用問題としては初級編となります。以下、解答(解説)です。
静水時の船の速度を時速x(km)とすると、
上り速度は下り速度の3分の1なので、
上りの速度：下りの速度＝1：3 より、
(x－24)：(x＋24)＝1：3
外側どうし、内側どうしを掛けたものがイコールなので、
3(x－24)＝1(x＋24)
両辺を計算すると、
3x－72＝x＋24
移項して計算すると、
2x＝96
両辺を2で割ると、
x＝48
以上により、
上り速度＝時速48km－時速24km＝時速24km
上り時間＝720km÷時速24km＝30時間
下り速度＝時速48km＋時速24km＝時速72km
下り時間＝720km÷時速72km＝10時間
往復時間＝30時間＋10時間＝40時間 …答え
そこそこ難しい流水算(その3)
ある川を船で進むと、上流にあるA町から下流にあるB町まで20分かかり、B町からA町までは60分かかる。
別の船を使ったところ、A町からB町までは24分かかった 。この船でB町からA町まで何分かかるか。
２つの船の静水時の速度も、川の流速も一定であるとする。
■私が考えた解答(解説)
xやyという文字は使いますが、方程式ではなく「算数」っぽい内容となります(だから簡単、という訳ではない)。以下、解答(解説)です。
最初に書かれている船の場合、速度は所要時間の逆比より、
下り速度：上り速度＝60：20＝3：1
従って、
下り速度＝3x …①
上り速度＝x …②
とする。
流れの速度＝(下り速度－上り速度)÷2 より
流れの速度＝(3x－x)÷2＝2x÷2＝x …③
さて、最初に書かれている船と、後から書かれている「別の船」の、下りの速度の比は、所要時間の逆比より、
24：20＝6：5
この「6」が①の3xなので、「5」をyとすると、
6：5＝3x：y
外側どうし、内側どうしを掛けたものがイコールなので、
6y＝15x
両辺を6で割ると、
y＝2.5x
従って「別の船」の、船自身の速度は、この下りの速度2.5xから、流れの速度x(上記の③)を引き、
2.5x－x＝1.5x
従って「別の船」の上りの速度は、この船自身の速度1.5xから、流れの速度x(上記の③)を引き、
1.5x－x＝0.5x …④
最初に書かれている船の上りの速度は上記②のxで、「別の船」の上りの速度は上記④の0.5xなので、
x ÷ 0.5x ＝ 2(倍)
より、速度と所要時間は逆比なので、最初に書かれている船の上りの所要時間は60分だから、「別の船」のそれは、
60分 × 2(倍) ＝ 120分 …答え
そこそこ難しい流水算(その4)
ある川の上流A地点から下流B地点までは、1500mの長さがある。A地点からカヌーが一定の速さで下り始め、同時にB地点からは静水時で分速90mのボートが遡り始めたとき、カヌーとボートはAから900mの地点で出会った。この川の速さが時速3㎞のとき、カヌーの静水時の速さは分速何mか。ただしカヌーとボートの長さは考えないものとする。
■私が考えた解答(解説)
素直に方程式を使った解き方で記します。
カヌーの静水時の速度を分速x(m)、両者が出会うまでの時間をy(分)とする。
出会うまで、カヌーは900m進み、ボートは
1500m－900m＝600m
進んでいる。
流れの速度である時速3kmの単位を直すと、
時速3km＝時速3000m＝分速50m
(カヌー分速＋流れ分速)×時間＝900m より
(x＋50)×y＝900 …①
(ボート分速－流れ分速)×時間＝600m より
(90－50)×y＝600
左辺を計算すると、
40y＝600
両辺を40で割ると、
y＝15 …②
②を①に代入すると、
(x＋50)×15＝900
左辺を計算すると、
15x＋750＝900
移項して計算すると、
15x＝150
両辺を15で割ると、
x＝10 …答え
答え 分速10m
そこそこ難しい流水算(その5)
川沿いの下流のA地点と上流のB地点の二点を往復する船がある。
川の流れがないときの船の早さは毎時12キロ、川の流れの早さは毎時3キロである。
八時にA地点を出発したが、上りに船のエンジンが故障して20分間ながされたにで、B地点まで往復してA地点に到着したのが12時であった。このとき次の問に答えよ。①この二点距離を求めよ。
②折り返した時間を求めよ。
■私が考えた解答(解説)
最後は応用問題でよくある「故障するパターン」です。以下、解答(解説)です。
＜単位の変換＞
静水速度…時速12km＝時速12000m＝分速200m
川の流れ…時速3km＝時速3000m＝分速50m
行き(上り)にかかった時間をx(分)、二点間の距離をy(m)とする。
行き(上り)に関して、故障中に、
分速50m×20分＝1000m
戻されているので、
行き(上り)で船が進んだ距離は、
y＋1000
これを、x(分)から故障していた20分を差し引いた、
x－20
で進んだ訳なので、
距離＝上り速度×時間 より、
y＋1000＝(200－50)×(x－20)
計算を進めると、
y＋1000＝150×(x－20)
y＋1000＝150x－3000
y＝150x－4000 …【A】
往復時間は8時～12時の4時間、すなわち、
60分×4＝240分
従って帰り(下り)の時間(分)は、
240－x
帰り(下り)はy(m)だけ進んだので、
距離＝下り速度×時間 より、
y＝(200＋50)×(240－x)
計算を進めると、
y＝250×(240－x)
y＝60000－250x …【B】
【A】と【B】は同じyを表しているので、
150x－4000＝60000－250x
移項して計算すると、
400x＝64000
両辺を400で割ると、
x＝160 …問②の答えの算出に使う
xを【B】に代入すると、
y＝60000－40000＝20000
以上、二点間の距離は、
y＝20000m＝20km …問①の答え
行きにかかった時間はx＝160分
すなわち2時間40分なので、
折り返した時刻は、
8時＋2時間40分＝10時40分 …問②の答え
おわりに
以上、そこそこ難しい流水算の文章題を5つ集めて解いてみました。
