数学ではなく「算数」の文章問題(特殊算など)のことを書くページ

「算数」による特殊算の解き方の解説などを記しています

【算数】「比で分ける」やり方(考え方)を分かりやすく解説してみた

はじめに

兄が300円、弟が200円持っていたら、その所持金の比は「3:2」であるということは、ほとんどの方が分かるのだろうと思いますが、それを逆から見て「兄と弟が合わせて500円持っていて、兄と弟の所持金の比は3:2です。それぞれいくらずつ持っていますか」と問われた途端に「分からない…」となってしまう方が結構居られるように感じます。

と言う訳で、今回はその部分の「考え方」について説明したいと思います。例題を引用しながらそれを解く形で記したいと思います。

総量が分かっているケース(その1)

問題

1000円を姉と妹で5:3の比にわける。
妹の分の金額はいくらか。

小6。比の値での質問です。 - 1000円を姉と妹で5:3の比にわける... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。線分図は用いずに「意味」を考えながら解く方法を記します。

・1000円を5+3=8個の財布に分けます。すると財布1つあたりの金額は
 1000円÷8=125円

・その財布を姉が5個、妹が3個持てば、それぞれの総額の比は5:3となりますから、妹の総額は
 125円×3=375円 (答え)

という風に考えると、簡単に分かる内容となります。

今回はお金を扱うものだったので「財布」にしましたが、別に袋でも何でも構わないし、もっと言えば「8ヶ所に分ける」的なイメージだけで、8の単位(今回なら財布8個)は無くても構わない訳です。慣れると、
 1000÷(5+3)×3=375
とすぐに答えが出せるようになると思います。

総量が分かっているケース(その2)

問題

長さ3.2mのリボンを あやかさんとお姉さんで分けます。あやかさんの分とお姉さんの分の長さの比を 3:5に すると お姉さんのリボンの長さは 何mに なりますか? 

6年生の算数の比の問題です。長さ3.2mのリボンを あやかさんとお姉さん... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。今回は線分図を用いた方法です。線分図はイメージだけ浮かべるか、もしくはメモ書き程度で十分であり、きちんと綺麗に書く必要はありません。

・全体の長さ3.2mをイメージします。
├───────────────┤

・それを3+5=8分割します。
├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤

・すると1目盛りは、
 3.2m÷8=0.4m

・あやかさんに3目盛り分、お姉さんに5目盛り分で分ければ、2人の比は3:5となります。
あやかさん
├─┼─┼─┤
お姉さん
├─┼─┼─┼─┼─┤

・従ってお姉さんの長さは
 0.4m×5=2m (答え)

ここまでで一旦まとめ

上の2つの方法は、意味としては全く同じです。従ってお金を扱う問題であっても線分図を用いても構いませんし、逆に長さを扱う問題であっても線分図は用いずに「意味」として「8目盛りで分割して、その内の5目盛り分だから」と考えても構わない訳です。

重要なのは、何かの「やり方」とか「パターンの当てはめ」などの丸覚えではなく、上で述べたような「本質的な部分」を理解しておくことです。それが理解出来ている限り、大抵の問題は解けるようになると思います。

片方の量が分かっているケース

問題

酢とサラダ油の量の比を3:2にしてドレッシングを作ります。
①サラダ油の量を40mlにすると、酢は何mlいりますか?

酢とサラダ油の量の比を3:2にしてドレッシングを作ります。①サラダ油の量を4... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。図は使わずに意味で考えます。

・計量カップが3+2=5つあり、その内の3つに酢が、残りの2つにはサラダ油が、5つとも同量ずつ入っていると考えます。すると、酢の総量とサラダ油の総量の比は3:2となります。

・サラダ油の総量は40mLですから、計量カップ1つあたりは、
 40mL÷2(つ)=20mL

・従って酢はそれが3つ分ですから、
 20mL×3=60mL (答え)

備考

下のような線分図を使って「1目盛り20mL」と考えても意味は全く同じです。

├─┼─┼─┤
サラダ油
├─┼─┤

分数や小数で表現されているケース

問題

54cmのリボンを姉と妹の2人で分けます。姉の長さを、妹の3.5倍にしたとき、それぞれのリボンの長さは何cmですか?

算数の問題で、解らないので教えて下さい。問、54cmのリ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。

・姉:妹=3.5:1なので、両方の合計を4.5として計算を進めても良いのですが、
 姉:妹=3.5:1=7:2
 と整数に直しておくと、考えやすくなります。

・リボンを7+2=9分割するように目盛りを入れて、7目盛り分を姉に、2目盛り分を妹に分ければ良いことになりますから、

・答え
 姉…54cm÷9×7=42cm
 妹…54cm÷9×2=12cm

備考(分数の場合)

例えば「妹が姉の5分の3となるように分ける」という問題であれば、

姉:妹=5:3

という風に分けるものとして計算を進めると、今まで述べた方法と同様に考えることが出来ます。

応用問題(その1)

問題

赤いリボンと白いリボンがあります。赤いリボンの長さは50センチで白いリボンの7分の3だけ白いリボンより長いそうです。白いリボンの長さは何センチですか?

算数分数と割合の問題です。⑴赤いリボンと白いリボンがあります。赤いリボンの... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。

白いリボンを7分割します。
├┼┼┼┼┼┼┤

・3目盛り分を足すと、「白いリボンの7分の3だけ白いリボンより長い」長さとなります(計10目盛り)。
├┼┼┼┼┼┼┼┼┼┤

・この長さが赤いリボンの長さ、すなわち50cmなので、1目盛りは、
 50cm÷10=5cm

・従って白いリボンは7目盛り分なので、
 5cm×7=35cm (答え)

応用問題(その2)

問題

姉の年齢は弟の2倍よりも8歳若く、弟の妹の年齢の比は3対4である。

弟の年齢を求めなさい。

姉の年齢は弟の2倍よりも8歳若く、弟の妹の年齢の比は3対4である。 -... - Yahoo!知恵袋より引用

注)そのまま引用していますが、「弟の妹の年齢の比は3対4である」は「弟と姉の年齢の比は3対4である」が正しいとして以下に解答を記しています(妹は登場しません)。

解答(解説)

私が考えた解答です。

・弟:姉=3:4をそのまま線分図にします。
 弟
 ├─┼─┼─┤
 姉
 ├─┼─┼─┼─┤

・弟を2倍します。
 弟(2倍)
 ├─┼─┼─┼─┼─┼─┤
 姉
 ├─┼─┼─┼─┤

・2倍した弟は姉より2目盛り長く、問題文よりこの2目盛りが「8歳」ですから、1目盛りは
 8歳÷2=4歳

・従って弟の年齢は3目盛り分なので、
 4歳×3=12歳 (答え)

おわりに

以上、「比で分ける」やり方(考え方)を解説してみました。基本部分の解説が目的である為、引用した問題は応用問題も含めて全て難易度が低めのものを選んでいます。

【算数】問題は長ったらしいけど内容はシンプルなニュートン算の文章問題

問題

ある銀行の支店では、毎朝、現金自動預払機の前に一定の人数が並び、稼働後にも毎分一定の割合で新たに人が並んでいた。
機械を3台稼働させると行列がなくなるまでに40分かかり、4台稼働させると行列がなくなるまでに20分かかることがわかった。ある時近くの別の銀行の支店が閉店したため、この銀行の機械を利用する者が増え、稼働前に並ぶ人数がそれ以前の2割増し、稼働後に毎分新たに並ぶ人数が5割り増しとなった。
このとき、機械を5台稼働させたとすると、
行列が解消するまでにかかる時間にとして妥当なものはどれか?

数的処理 ニュートン算の問題です。 - ある銀行の支店では、毎... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。

・機械1台1分あたりに処理出来る人数を1とする。

・3台で40分で処理した人数は
 3×40=120 …①

・4台で20分で処理した人数は
 4×20=80 …②

・①も②も同じ「一定の人数が並」んでいる行列(すなわち同じ人数の行列)をゼロまで減らしているのに、処理人数に
 120-80=40 …③
の差があるのは、
 40分-20分=20分 …④
という経過時間の差の間に訪れた、「毎分一定の割合で新たに人が並んでいた」いわゆる来客者の差があり、すなわち①のケースのほうが経過時間が20分多い間に次々と来た来客者を多く処理している為である。

・従ってこの来客者が訪れるペースは
 ③÷④=40÷20分=毎分2 …⑤
と分かる。

・従って最初に並んでいた行列の人数は、

 全処理人数-来客者数
 すなわち
 全処理人数-来客ペース×経過時間
 で算出されるので、

 最初に並んでいた行列の人数は①のケースで考えても
 120-毎分2×40分=40 …⑥

 と算出出来るし、②のケースで考えても
 80-毎分2×20分=40
 と同じ結果が算出される。

・さて、近くの銀行の閉鎖後は、稼動前の行列が2割増、来客ペースが5割増なので、
 稼動前の行列…⑥×1.2=40×1.2=48
 来客ペース…⑤×1.5=毎分2×1.5=毎分3

・これを5台の機械で処理するので、
 処理ペース…1×(5台)=毎分5
 行列が減るペース…
  処理ペース-来客ペース=毎分5-毎分3=毎分2
 従って行列がゼロになるまでの時間は
  48÷毎分2=24分 (答え)

おわりに

問題文が長く、また最後のほうで少し余分な部分(行列と来客ペースの割り増し)がありますが、基本的にはごく単純な部類のニュートン算であると思います。

【算数】特殊算の解き方(9) 損益算の解き方を解説します

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

今回は「損益算」と呼ばれるものに関して記します。前半で簡単な例題を使って基本を説明し、後半でいくつか実践的な問題を解いてみたいと思います。

なお、今回の損益算に限らず当サイトの一貫した(と自分では思っている)方針ですが、いわゆる「公式の丸覚え」「公式への当てはめ」的な説明は致しません。あくまで「本質的な内容」に関する説明となります。前半の「基本の説明」の中身をしっかり理解出来ていれば、そこそこの難度の高さなら初見の問題でも何がしかの方法で解けるようになると思います。

ご注意

ここで述べる「損益算」の内容は「算数」等の問題に関するものであり、いわゆる企業会計的な話とは異なりますのでご留意下さい。

日ごろ私が質問サイト等で目にするものは「算数」の問題の他、中学校レベルの「数学」の問題、及び「SPI」の問題などですが、そのような問題に関しては以下の内容で適合していると思います。

基本の説明

例題.ある品物を原価1000円で仕入れ、利益が原価の5割となるように定価を付けました。定価の2割引で売ると、利益はいくらになりますか。
(この問題は私の自作です)。

 

以上の例題を解いていく形で基本を説明していきます。

 

原価の1割を□1つ分として線分図で表しながら説明します。なお、今回は原価(10割)が1000円なので、□1つは100円となっています。

原価1000円(10割)は、□が10個分です。
原価1000円の線分図 …①
□□□□□□□□□□

 

利益が原価の5割になるように定価を付けるということは、
原価の5割の線分図 …②
□□□□□
を、原価に上乗せして売れば、売って得たお金から原価代を差し引いても、手元には上記の「原価の5割」が利益として残る訳であり、そのような額を定価としようということなので、

定価の線分図 …①+②
□□□□□□□□□□□□□□□

この定価の額は、図より明らかに①の1.5倍ですから、
1000円×1.5=1500円
です。
(他のやり方で、例えば原価の5割は
1000円×0.5=500円
なので、
定価=1000円+500円=1500円
と算出しても良いですし、
上で線分図で記した内容が頭で理解出来ていれば、実際に数値を出す算式はどのようなアプローチでも構いません。)

 

売値はこの定価の2割引となります。ここでの2割というのは、定価すなわち①+②を「10割」とした場合の、それに対する2割ですから、□の個数で言えば
15個 × 2/10 = 3個
を引くことになります。

売値(2割引)の線分図
□□□□□□□□□□□□

これの金額は、定価(①+②)の
10割-2割=1-0.2=0.8(倍)
なので、
1500円×0.8=1200円
となります(実際に□も12個になっています)。

(定価1500円の2割は
1500円×0.2=300円
なので、
売値(2割引)=1500円-300円=1200円
と算出しても良いです。)

 

この売値(2割引)と、最初の原価(①)の線分図を改めて並べて書くと、

売値(2割引)1200円の線分図
□□□□□□□□□□□□

原価1000円の線分図
□□□□□□□□□□

定価は1500円と付けたけど実際には上記上段の1200円で売った訳なので、残る利益はそこから上記下段の原価1000円を引き、

利益=1200円-1000円=200円

答え 200円

以上が基本事項の内容となります。

 

今回の例題程度なら慣れれば、
1000×1.5×0.8-1000=200
答え 200円

と1行の式で答えを出す訳ですが、難度が高い問題になった時には、上で線分図で説明したような「概念」の部分に立ち帰って紐解いていく必要がある訳であり、その部分の理解がなく公式の丸覚え等だったら到底太刀打ち出来ない問題というのは別に珍しい訳ではなく「普通に見かける」と言った印象です。

 

実際の損益算を解いてみる

方程式は使わず、全て算数による解答となります。通常は(自分で解くだけなら)線分図までは使わないものであっても、今回は出来るだけイメージしやすいように、PCで表現出来る範囲で可能な限り線分図を用いています。

初級編、中級編、上級編と分けていますが、あくまで「そこそこの難度の範囲内」での区分であり、もの凄く難しい問題は取り上げておりません。

問題(初級編1)

ある品物に、定価の2割引で売っても、原価の4割の利益が得られるように2450円の定価をつけた。原価はいくらか。

損益算についてです。 - ある品物に、定価の2割引で売っても、原価の4割の利... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。

・定価は2450円なので、その2割引は
 2450円×0.8=1960円

・すなわち、原価+原価の4割(利益)=1960円であれば良いので、□1つを原価の1割として(すなわち原価は□10個)、また原価の4割(利益)を同じ大きさの■で線分図を書くと、
 □□□□□□□□□□■■■■

・この線分図の全長が1960円なので、□(■)1つは
 1960円÷14=140円

・従って原価はそれが10個分なので、
 140円×10=1400円 (答え)

問題(初級編2)

ある品物を定価の20%引きで売ると、原価の12%の利益が得られた。この品物の定価は原価に何%の利益を見込んでつけたものか。

損益算の問題で悩んでいます。 - ある品物を定価の20%引きで... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。

・原価を100とする(単位は不要)。

・売値(定価の20%引き)は原価+原価の12%(利益)なので、
 100×1.12=112 …①

・定価の10%を□1つとして線分図を書くと(□が10個で100%)
 □□□□□□□□□□

・20%引きの部分を塗りつぶすと
 □□□□□□□□■■

・残った□8個分が①の112なので、□1つは
 112÷8=14

・従って定価は□10個分なので、
 14×10=140

・原価を100と置いているので、定価は原価の40%増しと分かる。

・答え 40%

問題(中級編1)

ある商品を50個仕入れた。
定価は利益が200円になるように設定した。

定価で30個売ったあと、定価の2割り引きで20個売ったら利益が6880円になった。
定価はいくらか?

損益算についてです。説き方がわからないので詳しく教えてください。... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。

・仮に50個全て定価で売った場合の利益は
 200円×50=10000円

・実際の利益は6880円なので、差額は
 10000円-6880円=3120円

・すなわち、20個を2割引にすると、3120円売上が下がったことになるので、1個を2割引にすることによる売上減少額は、
 3120円÷20=156円

・すなわち156円が「定価の2割」に他ならないので、定価(10割)はそれの
 10÷2=5(倍)
 なので、
 定価=156円×5=780円 (答え)

・参考の線分図
 ■■□□□□□□□□
 全体10個(10割)の内、塗りつぶしている2個(2割)が156円なので、
 全体はその5倍の780円(答え)。

問題(中級編2)

商品Mは原価に4割の利益をのせて定価を設定した。商品Mを定価の2割引きで売った場合に比べ、3割引きの場合には商品Mの1個あたりの利益が56円少なくなった。このとき商品Mの原価はいくらか?

損益算で質問です。商品Mは原価に4割の利益をのせて定価を設定した。... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。

・□1つを定価の1割として線分図を書くと
 定価(10割)
 □□□□□□□□□□

・割引部分を塗りつぶすと
 (塗ってないところが売値)
 2割引
 □□□□□□□□■■
 3割引
 □□□□□□□■■■

・2割引より3割引のほうが利益が56円少ない訳だから、原価は両者とも同額なので、すなわち2割引より3割引のほうが売値が56円少ないことになる。すなわち、上図の2割引と3割引の差である□1つ分が56円である。

・従って定価は□が10個分なので、
 56円×10=560円

・定価は
 原価+原価の4割(利益)
 なので、
 すなわち定価は原価の
 1+0.4=1.4(倍)

・従って定価は560円なので、
 原価=560円÷1.4=400円 (答え)

問題(上級編1)

A商品とB商品を合計2000円で仕入れた。A商品は3割増し、B商品は5割増しで定価をつけて、A、B両方とも2割引きで売ったところ272円の利益を得た。A、Bの原価はそれぞれいくらか。

損益算の問題です。 - 【1】A商品とB商品を合計2000円で仕入れた。A... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私の考えた解答です。上級編ということで、特殊算の要素が入っているものを取り上げており、以下は鶴亀算で解いています。

・定価に関して、Aは原価の3割増、Bは原価の5割増なので、
 Aの定価=Aの原価×1.3
 Bの定価=Bの原価×1.5

・売値に関して、AもBも上記の2割引(すなわち8割)なので、
 Aの売値=Aの原価×1.3×0.8=Aの原価×1.04
 Bの売値=Bの原価×1.5×0.8=Bの原価×1.2

・従って利益に関して、
 Aの利益=Aの原価×0.04
 Bの利益=Bの原価×0.2

・仮に仕入れ値(原価)合計2000円の内訳が、
 Aの原価=2000円
 Bの原価=0円
 だったとすると、
 利益の総額は、
 2000円×0.04+0円×0.2=80円

・実際の利益は272円なので、
 272円-80円=192円 …①
 の不足がある。

・上の仮定より、1円ずつAの原価→Bの原価に入れ替えると(Aが1999円、Bが1円という内訳とすると)、
 1円×(0.2-0.04)=0.16円 …②
利益が増える。

・従って
 ①÷②=192円÷0.16円=1200
すなわち最初の仮定より1200円をAの原価→Bの原価に入れ替えると、不足①は解消されると分かる。

・従って実際の内訳は(答え)
 Aの原価=2000円-1200円=800円
 Bの原価=1200円

問題(上級編2)

A.B 2種類の商品を仕入れ、Aは1個100円、Bは1個90円で売り出しました。
Aはすべて売れ、1500円の利益がありました。Bは5個売れ残りましたが、Bの売上金額はAの売上金額より150円多くなりました。仕入れた個数はBの方がAより20%多かったとき、商品Aの1個あたりの原価を次のうちから選びなさい。

1、70円
2、75円
3、80円
4、85円
5、90円

公務員試験の損益算について質問です。 - A.B 2種類の商品を仕入れ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。これで最後の問題とします。これも特殊算の要素が入っており、倍数算のような内容となります。

・Bは5個売れ残ったが、仮にその5個も売れたとすると、売上は
 90円×5=450円
 アップする。

・上記の場合(すなわち仕入れた個数が全て売れたと仮定した場合)、Bの売上金額はAのそれよりも
 150円+450円=600円 …①
多くなる。

仕入れた個数に関して、BのほうがAより20%多いので、
 Aの個数:Bの個数=1:1.2=5:6

・従って「Aが5個、Bが6個」の組を作ると、きちんと割り切れる(端数は出ない)はずである。

・この1組に関して、
 Aの金額…100円×5=500円
 Bの金額…90円×6=540円
 Bのほうが
 540円-500円=40円 …②
 高い。

・従って
 ①÷②=600円÷40円=15(組)
 「Aが5個、Bが6個」の組があると分かる。

・従ってAの総数は
 5個×15=75個
 である。

・Aはこれが全て売れ、利益が1500円だったので、
 Aの1個あたりの利益=1500円÷75=20円

・従ってAに関して
 原価=売値-利益=100円-20円=80円 (答え)

おわりに

以上、損益算に関して記しました。

【算数】算数で解くのは結構難しいニュートン算の文章問題

問題

満水の井戸をAポンプならば15時間で汲みつくし、Bポンプならば18時間で汲みつくすことができます。

A,B2個のポンプを同時に用いれば4時間30分で汲みつくせます。
井戸が汲みつくされた後、再び満水になるまで何時間かかりますか?

次のニュートン算の問題がわかりません。2種類のポンプの例題が見... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。ニュートン算としての要素はあまりなく、相当算に近いと思います。途中でbなどの文字を使いますが、方程式として分配法則や移項を用いる訳ではなく、あくまで算数の範疇の解き方となります。また、増える水のほうは「湧き水」と称することにします。

・A、Bを同時に用いて4時間30分=4.5時間で満水から空にした際、湧き水は全てAのほうから汲み出されると考えます。

・するとAだけなら、湧き水も排水しながら満水の水を15時間で空に出来る訳なので、上記ケースではAは満水の
 4.5時間÷15時間=3/10
を汲み出すことになります。

・従って残りの
 1-3/10=7/10
を、Bが湧き水は受けずに最初からあった水だけを4.5時間で汲み出すことになります(ケース①)。

・もしBが7/10を汲み出すのに、湧き水を受けながらだとした場合、満水からなら18時間なので、7/10なら
 18時間 × 7/10 = 12.6時間
かかることになります(ケース②)。

・すなわち、ケース①もケース②も同じ7/10の水を減らす訳だから、Bの1時間あたりの汲み出す量をb(単位は不要)、湧き水が1時間あたりに増える量をw(単位は不要)とすると、ケース①とケース②より
 b×4.5=b×12.6-w×12.6
と分かります。

・wの流入が12.6時間分増える分、同じ量(7/10)を減らすのに、bの排水時間は
 12.6-4.5=8.1時間
増える訳なので、
 b×8.1=w×12.6
と分かります。

・従って
 b:w=12.6:8.1=14:9
と分かります。書き直すと、
 b=14
 w=9

・Bだけで18時間かけて満水から空にする際は、
 b-w=14-9=5
のペースで減らしています。

・従って空から
 w=9
のペースで満水まで増やす所要時間は、
 18時間 × 5/9 = 10時間
と分かります。

・答え 10時間

確かめ算

大きさ的に「井戸」であることは無視して、分かりやすい数値で確かめ算を行います。

・w=9L/時とします。

・すると、井戸の容量は「答えの10時間」を用いて
 w×10時間=90L

・b=14L/時とします。

・するとBだけで満水から空にする時間は
 90L÷(14L/時-9L/時)=18時間 …O.K.

・A、Bの両方だと満水から空まで4.5時間なので、
 a+b-w=90L÷4.5時間=20L/時

・従って
 a=20L/時+9L/時-14L/時=15L/時

・従ってAだけで満水から空にする時間は
 90L÷(15L/時-9L/時)=15時間 …O.K.

おわりに

以上、ほとんどニュートン算の要素が無いと思えるニュートン算に関して記しました。賢い方ならもっと良い方法があるのかも知れませんが、私にとっては算数で解くのは結構難しい部類であるように感じました。

【算数】少し工夫して考えると簡単に解けるニュートン算の文章問題

問題

一定の割合で水が流れこむ水槽があります。
水槽いっぱいに入っているとき、7台のポンプで水を汲み出すと30分で水がからになり、10台のポンプで水を汲み出すと12分で水がなくなります。(ポンプは、全て同じ割合で水を汲み出します。)

(1)満水の水を13台のポンプで、汲み出すと水槽の水は何分でなくなりますか?

(2)満水の水を8台のポンプで汲み出したところ、途中一台のポンプが壊れてしまいました。
続けて7台のポンプで汲み出したところ、最初に汲み始めてから28分後になくなりました。
ポンプが壊れたのは、水を汲み始めてから何分後ですか?

ニュートン算の問題です。 - 一定の割合で水が流れこむ水槽があ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。設問(2)を解くのに、少し工夫するとグッと簡単になる内容となっています。

<設問(1)の解答(解説)>

・ポンプ1台1分あたりの排水量を1とします。

・7台で30分で排水した量は
 7×30=210 …①

・10台で12分で排水した量は
 10×12=120 …②

・両ケースとも「満水の水槽を空にした」
 のは同じなのに、
 ①-②=210-120=90
 の排水量の差があるのは、
 30分-12分=18分
 の時間の差で「流れ込んだ水」を①の
 ほうが多く排水している為です。

・従って流れ込んでいる水の量は1分あたり、
 90÷18(分)=5
 と分かります。
 (最初に設定したポンプ1台1分あたりの
 排水量1の5倍の水流れ込んでいる。)

・従って①のケースでは、排水した210の内、
 毎分5×30(分)=150
 は流れ込んだ水なので、最初に水槽に入っ
 ていた満水の水の量は
 210-150=60
 となります。

・ちなみに②のケースで算出しても、排水
 した120の内、流れ込んだ水は
 毎分5×12分=60
 なので、最初に水槽に入っていた水は、
 120-60=60
 と、①で算出したものと同じとなります。

・従って13台のポンプで排水した場合、
 その内の5台は流れ込んでくる水の排水
 に費やされますので、残りの
 13台-5台=8台
 が、水槽の満水の水60を減らしますので、
 水槽が満水から空になる所要時間は、
 60÷毎分8=7.5分 

・答え 7.5分

<設問(2)の解答(解説)>

・8台×その時間+7台×その時間=排水量
 と考えると計算が面倒なので、以下の
 ように考えます。

・壊れなかった7台は28分間ずっと稼動
 した訳なので、その排水量を把握して、
 それでも不足する分を壊れた1台が排水
 したはずなので、その1台の稼動時間を
 算出して答えを算出します。

・28分間で流れ込んだ水は、
 毎分5×28分=140

・従って最初から水槽に入っている満水
 の水60と合わせて、全排水量
 140+60=200

・壊れなかった7台が28分間で排水した量は、
 7×28=196

・従って壊れた1台が排水した量は
 200-196=4

・従って壊れた1台の稼動時間は
 4÷毎分1=4分

・これが、最初からポンプが壊れるまでの
 時間に他ならないので、
 答え 4分後

おわりに

ニュートン算としてはそれほど難しくない部類の問題かと思います。