数学ではなく「算数」の文章問題(特殊算など)のことを書くページ

「算数」による特殊算の解き方の解説などを記しています

【算数】峠を超えると行きと帰りで時間が異なるタイプの文章問題

問題

A町から峠を越えてB町まで往復するのに、上りは時速4kmの速さで、下りは時速6kmの速さで歩いたところ、行きに1時間10分、帰りに1時間20分かかった。A町から峠までの道のりと峠からB町までの道のりを求めなさい。

連立方程式の文章題の宿題がありますが、わかりません。わからなくてムズムズ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。算数での解き方となります。

・行きと帰りの線分図を書くと以下の通りです。
行き→
───上り──峠──下り──────
←帰り
───下り──峠──上り──────
以上のように、図の(峠より)右側のほうが距離が長いので、全体に対する上りの距離の割合が、帰りのほうが長くなるので、帰りのほうが所要時間が長くなっています。

・峠の左右の距離が同じとなる位置に目印を入れます。
行き→
───上り──峠──下り───┼──
←帰り
───下り──峠──上り───┼──
すると左端から目印までの区間は、行きも帰りも所要時間は同じとなります(上りの距離も下りの距離も、行きと帰りで同じとなる為)。

・すなわち行きと帰りの所要時間の差
 1時間20分-1時間10分=10分…①
 は、目印より右側の区間で差が付いた
 ことになります。

・仮に目印より右側の区間の距離が1kmだったとします。すると差が付く時間は
 行きの時間=1km÷時速6km=1/6時間
 帰りの時間=1km÷時速4km=1/4時間
 差=1/4-1/6
  =3/12-2/12
  =1/12時間
  =5分 …②

・①÷②=10分÷5分=2(倍)
 なので、目印より右側の実際の距離は
 仮定した1km×2(倍)=2km…(A)
 と分かります。

・以降、行きで考えても帰りで考えても同じ方法で答えが出ますが、ここでは行きで考えます。

・行きでは目印より右側の2kmを
 2km÷時速6km=1/3時間=20分
 で進んだと分かります。

・従って行きでは左端から目印までを
 1時間10分-20分=50分
 で進んだと分かります。

・この間は峠より左側と右側の距離が同じですから、すなわち上りで進んだ距離と下りで進んだ距離が同じですから、距離が同じであれば所要時間は速度の逆比となりますので、50分は
 上り時間:下り時間=6:4=3:2
 と分けられていると分かります。

・線分図で説明すると
 上り時間├─┼─┼─┤
 下り時間├─┼─┤
 と3:2となっていて、この合計
 3+2=5(目盛り)
 が時間で言えば50分なので、
 1目盛り=50分÷5=10分
 と分かるので、

 上り時間=10分×3(目盛り)=30分=1/2時間
 下り時間=10分×2(目盛り)=20分=1/3時間

 と分かります。

・従って
 左端~峠までの距離
 時速4km×1/2時間=2km…(B)
 峠~目印までの距離
 時速6km×1/3時間=2km…(C)
 と分かります。

・従って
 A町から峠までの距離=(B)=2km (答え)
 峠からB町までの距離=(C)+(A)=2km+2km=4km (答え)

おわりに

方程式で解く場合、A町から峠をx(km)、峠からB町をy(km)として、

行きの所要時間1時間10分
=1時間+1/6時間=7/6時間に関して
x/4 + y/6 = 7/6
両辺に12を掛ける
3x+2y=14 …①

帰りの所要時間1時間20分
=1時間+1/3時間=4/3時間に関して
x/6 + y/4 = 4/3
両辺に18を掛ける
3x+4.5y=24 …②

②-①
2.5y=10
y=4

yを①に代入
3x+8=14
3x=6
x=2

と答えが出ますので、どちらかと言うと算数よりも方程式のほうがラクに解ける問題であるように思います。

【算数】段階を踏んでいくと実は簡単な倍数算の文章問題

問題

あき子さんは1500円 かおりさんは800円もっていましたが2人は同じお金をだして 本を1さつ買いました。残りのお金を調べたらあきこさんの残りのお金は かおりさんの残りのお金の3倍より80円多い事がわかりました。
2人がお金を出し合って買った本の値段は何円ですか?

中学受験小4算数です。あき子さんは1500円 かおりさんは800円もって... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。

・最初の2人の金額差は
 1500円-800円=700円

・2人とも使った金額は同じなので、お金
 を使った後の2人の差はやはり700円…①

・お金を使った後は「あきこさんの残りのお金は かおりさんの残りのお金の3倍より80円多い」ので、そこからあきこさんが80円を手放せば、
 *あきこさんはかおりさんの丁度3倍となる
 *2人の金額差は①から80円を引き、620円

・その時の線分図
 (あきこさんはかおりさんの丁度3倍)
 あきこさん├─┼─┼─┤
 かおりさん├─┤

・2人の線分の差は
 3目盛り-1目盛り=2目盛り
 で、これが金額で言えば620円なので、
 線分の1目盛り=620円÷2=310円

・従ってこの時の金額は
 あきこさん…310円×3(目盛り)=930円
 かおりさん…310円×1(目盛り)=310円

・あきこさんは80円手放して考えているので、
 実際の「お金を使った後の所持金」は、
 あきこさん…930円+80円=1010円
 かおりさん…310円(そのまま)

・従って2人の支出額は、最初の所持金から上記を引き、
 あきこさん…1500円-1010円=490円
 かおりさん…800円-310円=490円

・従って本の値段は、2人の支出額の合計なので、
 490円+490円=980円 (答え)

おわりに

最も分かりやすいと思うような手順を踏んで解いています。

【算数】方程式で解くよりも算数で解いたほうが明らかに手っ取り早い年齢算の文章問題

問題

現在、父の年齢はAさんと3歳年上の兄の年齢の和の3倍ですが、26年後には父の年齢はAさんと兄の年齢の和に等しくなります。父の年齢は何歳ですか?

中学受験算数の年齢算の問題が分かりません。(*´-`)現在、父の年... - Yahoo!知恵袋より引用

式と答え

先に式と答えだけ書くと以下の通りです。

3-1=2
26÷2=13
13×3=39
答え 39歳

解説

上の「式と答え」の解説です。

・現在、父の年齢は「兄+Aさん」の年齢の3倍です。それを線分図で表すと以下の通りです。
 父の年齢
 ├─┼─┼─┤
 「兄+Aさん」の年齢
 ├─┤

・26年後、上図より父は26歳分延びます。「兄+Aさん」は26歳×2人分延びます。そして2つの長さは等しくなります。上図に対して延びた部分の「長い目盛り」の1目盛りが26歳分となります。
 父の年齢
 ├─┼─┼─┼───┤
 「兄+Aさん」の年齢
 ├─┼───┼───┤

・図から明らかなように、最初からの図の短いほうの目盛りの、当初の上段と下段の差である2目盛りが26歳分であると分かります。

・従って最初の図に関して、
 1目盛り=26歳÷2=13歳
 と分かります。

・従って現在の父の年齢はそれが3目盛り分なので、
 13歳×3=39歳 (答え)

※図で説明しましたが、図ではなく「意味」で考える場合は、「26年後、父は26歳増えて、「兄+Aさん」は26歳×2増えるのだから、前者よりも後者のほうが26歳多く増えるので、それで両者が等しくなるのだから、現在の差は26歳と分かる」となります。

おわりに

今までに色んな文章題を見て(解いて)きましたが、

(1)方程式で解くより算数で解くほうがラクな問題
(2)算数で解くより方程式で解くほうがラクな問題
(3)どちらで解いてもラクさは同じ問題

の3種類があるように感じていますが、今回の問題は明らかに(1)に該当するように感じた次第です。

【算数】普通の小五の息子が「算数」で解いて見せた、割合に関する連立方程式の文章問題

問題

A商店ではある商品を入荷し、1個150円で販売しました。閉店間際のサービスタイムでは20%引きの価格で販売したところ、この商品は完売しました。この商品の売り上げ総額は21420円で、サービスタイムの販売個数は販売総数の24%を占めていました。次の問いに答えなさい。

(1) サービスタイムの1個あたりの販売価格を求めなさい。

(2) サービスタイムに販売した個数をx個、それ以外の時間に販売した個数をy個として、連立方程式をつくり、サービスタイムに販売した個数を求めなさい。

(3) ある商品の入荷総数を求めなさい。

(2)のやり方と答えを教えてください - 回答(1)120円と正答が書かれているので解... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

連立方程式による解き方を求める問題で、その解き方に関しては引用元に記されています(ベストアンサーの回答は私が投稿したものです)。

小学五年生の息子に、算数でも数学(方程式)でもどちらで解いても良いのでと言って出題してみたところ(設問(1)と(2)は省略して(3)のみ答える)、「算数」で綺麗に解いていました。

私が算数で解く場合は少し違ったやり方をすると思いますが、ここでは息子の解答を記してみたいと思います。

ただし息子の実際の解答は式と答えのみであり、説明を分かりやすくする為に「セット」の例えを付加する等は私が行っています。

・定価は150円で、特価はその20%引きなので、特価は
 150円×0.8=120円

・特価販売が全体の24%なので、定価販売は全体の
 100%-24%=76%

・すなわち個数の比は
 特価:定価=24:76=6:19

・すなわち特価6個と定価19個を「1セット」とすると、綺麗に分けられる。

・この1セットは、
 個数…6個+19個=25個
 価格…120円×6(個)+150円×19(個)=720円+2850円=3570円

・総額は21420円なので、上記のセットが
 21420円÷3570円=6(セット)
 あると分かる。

・従って商品の総個数は、
 25個×6(セット)=150個

・答え…150個

おわりに

小学五年生の息子ですが、(塾などは行かずに)自宅で先取り学習をしていて、一年ほど前に数学検定5級(中学校1年程度)は合格していて、今春(約三ヵ月後)に数学検定4級(中学校2年程度)を受験する為に勉強中です。

と言う訳で、連立方程式に関しては(復習は必要と思っていますが)完璧と言える感じで既に終わっていますので、今回の問題も連立方程式でも解けると思います(これを出題した日と同じ日に、これよりもう少し難しい感じの問題を「これは連立方程式で解いてみて」と出題してみたところ、普通に解いていました)。

ところが今回の出題のような、勉強と言うよりかは「おまけの遊び」的に出題する問題に関しては、何故だが息子は出来るだけ「算数」で解こうとするのでして、今回の解答もそんな中で出てきたものです。

中学受験で一定レベル以上を狙っているお子さんたちは、恐らく小五で既に今回程度の問題を算数で解いていると思います。

が、我が家の息子は中学受験を考えていない上に、塾さえ行っていないので、そういう意味でタイトルに記した通り「普通の小五」なのですが、いわゆる「対策」のようなことをしていない「初見」の問題であっても、今回の問題でしたら「割合」と「比」が関係していますが、そういう本質の部分が深く理解出来ていれば、今回程度の問題であれば「何がしか方法を見つけて解けるようになる」のだろうと改めて感じた次第です。

【算数】特殊算とは言えないほど簡単な年齢算の文章問題

問題

父と子の和は48歳で丁度4年前には、父の年齢は子の年齢の4倍だった。現在の父と子の年齢はそれぞれ何歳ですか?

SPIの年齢算の事について、質問させて下さい。「父と子の和は... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

私が考えた解答です。

・現在の父と子の和が48歳であれば、4年前には2人とも4歳ずつ若いので、その時の父と子の和は、
 48歳-4歳-4歳=40歳

・その時、父は子の4倍なので、それを線分図で表すと、
 父├─┼─┼─┼─┤
 子├─┤

・2人の和は
 4(目盛り)+1(目盛り)=5(目盛り)
 で、
 これが40歳なので、1(目盛り)は、
 1(目盛り)=40歳÷5=8歳

・従ってこの時の2人の年齢は
 父…8歳×4(目盛り)=32歳
 子…8歳×1(目盛り)=8歳

・これは4年前なので、現在の年齢は、
 父…32歳+4歳=36歳(答え)
 子…8歳+4歳=12歳(答え)

おわりに

特殊算としての要素はほとんどなく、線分図で説明した「合計が分かっていて、比で分ける」部分のみが唯一の「単純計算でない部分」となっています。線分図までは不要な内容とも思いましたが、今回は丁寧に線分図で説明してみました。