数学ではなく「算数」の文章問題(特殊算など)のことを書くページ

「算数」による特殊算の解き方の解説などを記しています

【算数】「掛け算の順序問題」に関して思うこと

はじめに

私は算数に関しての専門家でも何でもありませんが、息子(現在小学五年生)に算数を教えていたり、もしくは日々の仕事で算数に触れたりしている中で、思うことを記します。

「掛け算の順序問題」に関する私の考え

先に自分の考えを書いておきます。

・学校(小学校)教育において、「□×△」の順序が違っているだけで「間違い」とするのは、絶対おかしい(絶対に正解にすべき)とまでは思わないが、まあ「正解」としても良い気はする。

・ただし「正解」とするのであっても、「たとえ答えは同じであっても、この順番で書いたほうが好ましいと言える『順序』は存在する」→すなわち「答えが同じであれば、その順序は真の意味でどうでも良い、という訳ではない」ことは教えるべきと思う。

・最低でも私が息子に算数や数学を教える際は、過去も現在もずっとそのように教えている。

・私がそのように考えるのは、「学校の勉強では正解になるか不正解なのか」は特に関係が無い。すなわち例えば別の事柄で、学校では順番通りやるように教えていても、それに本質的な意味が無い(と思われる)事柄は、息子にも「その順番にこだわる意味は無い」と教えている。

以上です。

順序にこだわったほうが良いと思うケース

「掛け算の順序問題」や、その他の事柄に関して「順序にこだわったほうが良い」と思うケースをいくつか記します。

いわゆる「掛け算の順序問題」

例えば1mあたり500円のロープを5m買った時の代金は、

500円/m × 5m = 2500円

と書くべきと私は強く思っており、例えば仕事で下の人が、何かの書式に当てはめないといけない等の事情が一切無くて、まっさらの何かに式を書いてきた時に、反対の順序で書いていたら「絶対に直させる」というレベルと思いますし、「答えは同じなんだから、順序はどっちだって良いじゃないですか」などと言っている人が居たら、相当の違和感を感じます(ちなみに私がやっている仕事は設計業です)。

世の中にはこの順序とは反対の「見積書」や「レシート」等が存在することは知っていますし、それが「絶対におかしい」とまでは思わないのですが(従って学校教育の中でも「絶対に不正解」とまでは思わない)、それとは別に「個人の資質」の話として、例えば息子が大人になった時に「答えが同じなんだから順序なんて関係無い」と考える(すなわち掛け算の式を書く際に順序を意識することが全く無い)人間になって欲しいか、それとも「別にどっちでも間違いでは無いが、特に事情が無い限りは『単価×数量』の順番で書くべきだろう」と考える人間となって欲しいか、どちらだと思っているかと言えば、「後者のようになって欲しい」と思っている訳です。

現在、息子は先取り学習で小学校の「算数」は終わっていて、中二レベルの数学をやっていますが、例えば速度算なら今まで公式の類を教えたことは一切無く、全て「意味」だけを教えてきて、(難度の高い特殊算が解けない等の話は抜きにして)完全にマスターしている状態ですが、例えば「時速40kmで5時間走った時の距離」は

40km/時 × 5時間 = 200km

と書くのであって、息子も反対で書くことはまず無いように思います(ただし後述の通り、今ではあまり確認はしていない)。

以降は余談ですが、方程式を立てる際に、速度が時速x(km)で時間が5時間の時には、

5x

と上とは逆の順序で表すことになりますが、中一レベルの数学をやっていた時にこれを息子に教えましたが、特に躓く(迷う)ようなことはありませんでした。

更に余談ですが、算数で解くには「大人でも難しい」と思うような特殊算(倍数算や過不足算、旅人算など他多数)の場合、息子も先述した通り「算数」では解けないものも多いのですが、今では「連立方程式」というツールを手に入れたので、「超絶に難しい」というような問題を除けば連立方程式を使えば普通に解けるようになってきています。

方程式のx、yの順序

例えばx(km)を時速40kmで、y(km)を時速50kmで進む「時間」に関して、後者の時間のほうが大きいとして、その差を求める場合、

-x÷40+y÷50

と書くのか、それとも、

y÷50-x÷40

と書くのか、それは「どちらでも良い」と思うのですが(意味としては後者のほうが分かりやすいと思う為)、差ではなく合計を求める場合は、

x÷40+y÷50

とx、yの順に書くべきであって、何も事情が無いのに、

y÷50+x÷40

と書くことは「やめたほうが良い」と考えています。

ただし、これも「掛け算の順序問題」と同じで、反対に書いていたからと言って本質的に間違っている訳でも無ければ答えが変わってくる訳でもありませんので、息子がそのような式を書いていた場合は、(中学校の指導はどうなのか知りませんが)「事情が無い限りは、x、yの順番に書くべきと思うぞ」とは伝えた上で、不正解ではなく「正解」としています。

答えを書く順番

文章問題の始まりが「弟は兄の5分の4のお金を持っていて」というように弟、兄の順番で始まって、しかし最後に「兄と弟の所持金を求めなさい」という順番で問われる問題は普通にあるのですが、その際の答えは、

兄1000円、弟800円

という順番で書くべきと思っていて、では、

弟800円、兄1000円

と書いたら「不正解」なのかと言えば、それは「不正解」では決してなく「正解」なのだろうとは思っていますが、「どっちでも良い」とは思っておらず「事情が無い限り、前者のように書くべき」と思っています。

息子がそのような(後者のような)答えを書いていた時は、もちろん「正解」とはするのですが、算数、数学の勉強に限った話ではなく、大人になり社会に出た後に遭遇する様々な場面で、「どっちの順序で書いても間違いではないけど、好ましい順番で書いていたほうが、後から別の人が見た時に見間違いしないとか、そういう事柄は非常に多くある」ということは伝えています。

一旦まとめ

上で述べてきたことは、結局「私の価値観ではこう思う」という類の話ばかりであり、絶対にそれが正しいとか間違っているなどと判定出来る話でも無ければ、する意味も無いように思っています。

と言う訳で、息子に対しては「私の思い」としては伝えていますが、正確には伝えて「きた」という感じで、すなわち現在ではそれほど細かく言っている訳ではなく、例えば私が息子の文章問題の解答の採点をする際にも、今では途中式は一切見ずに答えだけ見てマルをしていることが大半です(間違っている場合と、現在はまだ苦手な部類かも知れないと私が思っている問題のみ中身も見ていて、大半は見ていない、という感じ)。

と言う訳で、最終的には(大人になった時には)「息子自身の考えでやっていけば良い」という類の問題なのだろうと思っています。

順序にこだわる意味が無いと思うケース

長くなってきたので、「順序にこだわる意味が無い」と思うケースをパッと思いつく二つの事柄について記します。

掛け算の筆算

以下、□という記号はヨコ方向をズレなく表記する為の調整のものであり、意味は特にありません。

例えば25×32=800
という計算を筆算でする際に、

□25
×32
───
□50
75
───
800

という順番で計算しても、

□25
×32
───
75
□50
───
800

という順番で計算しても、答えが変わることは当然ありませんし、前者と後者には本質的な意味の差は全く無いと思っています。

と言う訳で、息子にこれを教えた際も(小学1~2年生の頃なので、随分前の話ですが)、そのように教えましたし、と言うよりも最初は筆算は教えずに、

25×32

なら、

25が30個、すなわち25×30=750 …①

25が2個、すなわち25×2=50 …②
の合計なので、答えは
750+50=800

という感じで教えて、完全にマスターしてから「筆算というのはその途中の経過を便利にメモするツールに過ぎない」という感じで筆算を教えたと記憶しています。

そして、①と②の「どちらを先に計算してメモするのか」に本質的な意味は無いと、私は考えています。

長方形の面積の算出

タテが6cm、ヨコが8cmの長方形の面積を算出するのに、

6cm×8cm=48cm² …③

なのか、

8cm×6cm=48cm² …④

なのか、その順番は基本的に「どちらでも良い」と考えています。

もう少し細かく述べると、例えば三角形の面積は「底辺×高さ÷2」の順番なので、長方形と三角形の両方が並んでいて、その両方の答えを並べて書くときは、長方形のほうも「底辺×高さ」に順番を合わせた④のほうが良いように思います。

ただ、そのような事情が全く無く、単に「タテが6cm、ヨコが8cm」と述べられているのであれば、素直に(記述文の順番通りに)③のように記せば良いと思う訳です。

すなわち、両者に算数(数学)的な差異は無く、その時々の状況に応じて、「後から見る人が分かりやすい」等を勘案しながら、何が適切であるのかを「意識」して記そうという姿勢が肝要なのでは無いか、と思っています。

おわりに

以上、「掛け算の順序問題」や、それに類すると思うことに関して私見を述べました。

「掛け算の順序問題」の議論を見ていて思うのは、「学校教育で『順序が逆だ』と不正解とする」ことの是非と、それとは別に「掛け算なのでどんな順番で書いても結果は同じと言いながらも、順番を考えたほうが好ましいケースが実社会では有り得るのか、それともそんなケースは有り得ないのか」という部分がごっちゃになっている気がします。

もし、後から述べたようなケースが実社会では往々にして有り得るのであれば(今まで述べてきた通り私は確実にあると思っています)、親(保護者)が子供に教育する際には、小学校でマルとなるかならないか、なんて部分は本当に些細な話なのであって(不正解で点数が悪くなって良い、という意味ではなく、「学校ではそう言っているのであれば、素直に従って正解をもらっておけば良い」と軽く教えれば済む話、というような意味です)、もっと「本質的な部分」に目を向けて、その重要性等を子供に教えていくことが肝要なのではないかと、そのように考えています。