「平均算」の文章題を5つ集めて「一次方程式」で解いてみた
はじめに
質問サイトの過去ログを見ていて見つけた、「平均算」の文章題を5つご紹介します。
自分で解いてみた解答も併せて記します。一次方程式を用いた中学数学での解き方となります。
「一次方程式」自体の計算の仕方についてはお分かりである前提での記述となっていますのでご了承下さい。ただし途中式とその解説は全て省かず記載しています。
解答の考え方や答えには間違いはありませんが、途中式などで誤字脱字などがある場合はご容赦下さい。
一次方程式で解いてみた平均算(その1)
Aさんのテストの今までの平均点は79点ですが、次のテストで97点取れば平均点が82点になります。
今までのテストの回数は何回ですか。
■私が考えた解答(解説)
今までのテストの回数をa回とします。
今までのテストの総得点は、
平均点79点 × a回
なので、
79a (点)
と表すことが出来ます。
これに「次のテスト」で97点を加えると、
・テストの総回数… a＋1 (回) …①
・総得点… 79a＋97 (点) …②
となり、この時の平均点が82点(③)ですから、
総得点② ＝ 平均点③ × 回数①
という関係より、
79a＋97＝82×(a＋1) …※
という一次方程式を立てることが出来て、これを解けば答えが得られます。
注）通常は解答を書く際はこの※式から始めれば十分かと思います。2問目以降は特に断りは入れませんが、基本的には※式を立てるところから書き始めれば十分と思います。
以下、解き進めます。
右辺を計算すると、
79a＋97＝82a＋82
移項して計算すると、
－3a＝－15
両辺を－3で割ると、
a＝5 …答え
答え 5回
一次方程式で解いてみた平均算(その2)
40人のクラスで算数のテストをしたところ、全体の平均点は56点で、上位10人の平均点と残り30人の平均点は24点の差がありました。
残り30人の平均点は□です。
■私が考えた解答(解説)
残り30人の平均点をa点とします。
上位10人の平均点は、それより24点高いので、
a＋24 (点)
従って全40人の総得点は、
残り平均×人数＋上位平均×人数
なので、
a×30＋(a＋24)×10
で、これが「全体平均56点×全40人」(総得点)と等しい訳ですから、
a×30＋(a＋24)×10＝56×40 …※
という一次方程式を立てることが出来て、この※式を解けば答えが得られます。
両辺を計算すると、
30a＋10a＋240＝2240
移項して計算すると、
40a＝2000
両辺を40で割ると、
a＝50 …答え
答え 50点
一次方程式で解いてみた平均算(その3)
5つの教科の平均点を調べたら、社会は70点・理科は57点・体育は85点で
国語は5科目の平均より2.4低く、算数は国語より7点高かったそうです。
この場合算数の点数は何点ですか。
■私が考えた解答(解説)
5教科の平均点をa点とします。
国語の点数は平均点よりも2.4点低いので、
a－2.4 (点)
算数の点数は国語より7点高いので、
a－2.4＋7 (点)
と表すことが出来ます。
5教科の合計点数＝平均点×5(教科)
なので、
70＋57＋85＋a－2.4＋a－2.4＋7＝a×5 …※
という一次方程式を立てることが出来て、この※式を解けば答えが得られます。
両辺を計算すると、
2a＋214.2＝5a
移項して計算すると、
－3a＝－214.2
両辺を－3で割ると、
a＝71.4 …方程式の解
従って算数の点数は、aに上記の解を代入し、
a－2.4＋7＝71.4－2.4＋7＝76点 …答え
答え 76点
一次方程式で解いてみた平均算(その4)
A,B,C,Dの4人がテストを行った。BはAの点数より5点高く、CとDの平均点はAとBの平均点より3点高かった。
4人の平均点が70点の時、Aの点数を求めよ
【500枚】平均算の問題！ - A,B,C,Dの4人がテストを行った。BはAの点数より5点高... - Yahoo!知恵袋より引用
■私が考えた解答(解説)
Aの点数をa点(①)とします。
Bの点数は、Aより5点高いので、
a＋5 (点) …②
AとBの平均点は、「2人の合計点÷2」なので、
(a＋a＋5)÷2
CとDの平均点はこれより3点高いので、
(a＋a＋5)÷2＋3
CとDの合計点は、上記の平均点×2人分なので、
{ (a＋a＋5)÷2＋3 } × 2 …③
4人の合計点(①＋②＋③)＝平均点70点×4人分なので、
a＋a＋5＋{ (a＋a＋5)÷2＋3 } × 2 ＝ 70×4 …※
という一次方程式を立てることが出来て、この※式を解けば答えが得られます。
両辺の計算を進めると、
2a＋5＋{ (2a＋5)÷2＋3 } × 2 ＝ 280
2a＋5＋{ a＋2.5＋3 } × 2 ＝ 280
2a＋5＋2a＋5＋6＝280
移項して計算すると、
4a＝264
両辺を4で割ると、
a＝66 …答え
答え 66点
一次方程式で解いてみた平均算(その5)
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４つのおもりがあり、
ＡはＣより２０kg重く、Ｄより５kgかるくなっています。
ＡＢの重さの平均は４５kgで、
４つのおもりの重さは１５５kgです。
Ｂの重さは何kgですか？
■私が考えた解答(解説)
※155kgは4つのおもりの「合計」重さと解釈して以下を記しています。
Bの重さをb(kg)とします。 …①
AとBの合計は、「平均45kg×2」
なので、
Aの重さは上記からBの重さを差し引いて、
45×2－b (kg) …②
Aの重さ(②)はCより20kg重いので、
すなわちCはA(②)より20kg軽いので、
Cの重さは、②から20kgを差し引いて、
45×2－b－20 (kg) …③
Aの重さ(②)はDより5kg軽いので、
すなわちDはA(②)より5kg重いので、
Dの重さは、②に5kgを加えて、
45×2－b＋5 (kg) …④
4つの重さ(①～④)を合計すると155kgなので、
b＋45×2－b＋45×2－b－20＋45×2－b＋5＝155 …※
という一次方程式を立てることが出来て、この※式を解けば答えが得られます。
左辺を計算すると、
b＋90－b＋90－b－20＋90－b＋5＝155
－2b＋255＝155
移項して計算すると、
－2b＝－100
両辺を－2で割ると、
b＝50 …答え
答え 50kg
おわりに
以上、「平均算」の文章題に関する「一次方程式」の解き方を解説しました。
