数学ではなく「算数」の適度に難しい文章問題を集めてみた

質問サイトの過去ログ等で見つけた特殊算の文章問題を引用し解いていくページです

【算数】速度の文章問題の解き方の解説(4) 流水算を詳しく解説します

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

何回かに分けて「速度の文章問題の解き方」を解説している内の(「速度の文章問題の解き方の解説」というカテゴリー)、今回は4回目となります。流水算に関して詳しく解説します。

速度に関する基本的な計算に関しては深く理解出来ている前提となります。その部分の解説に関しては第1回記事(コチラ)に記しています。

なお、算数の領域では「速度」ではなく「速さ」と言うのかも知れませんが(詳しくは分かりません)、普段は使わない言葉なので、普段から使用している「速度」という文言を使用しています。

流水算とは?

以下のような内容を扱う文章問題です。

・船が流れのある川を下ったり上ったりするような問題。
・流れがあるので、下りと上りとでは船が移動する速度が異なる。
・以上を踏まえた上で、速度や距離、所要時間など問われたものを算出する。

複雑なものになってくると、船が途中でエンジンを止めたり、もしくは落としたボールだけが流されたり、と言ったような複雑な内容となります。

ここではそのような複雑な問題にも対応できるような、ただしパターンの当てはめ等ではなく本質的な部分を理解しどのようなパターンにも対応できるような、本質的な内容の説明を(出来ているかどうかは別として)心掛けたいと思います。

基本は「船の速度+流れの速度」「船の速度-流れの速度」

流れが無いところでの船の速度(静水時の速度と称されることが多いです)に、下りの場合は流れの速度を加えたものが船の移動速度となります。逆に上りの場合は、静水時の船の速度から流れの速度を差し引いたものが船の移動速度となります。

すなわち、

下り…静水時の船の速度+流れの速度
上り…静水時の船の速度-流れの速度

下る場合は進む方向に流れが押してくれるので、その分だけ速く進めますし、逆に上りの場合は進む方向と逆方向に押し戻されながら進むので、その分だけ進む速度が遅くなります。上記の式はそのような意味となります。

最も基本的な例題を解いてみます。

流れの速さが4km/時の川があります。
この川を静水時では12km/時で進む船が川を下る時、45分間で何km進むか?

至急お願いします。SPI流水算について質問です。 - 1 ] 流れ... - Yahoo!知恵袋より引用

下りなので、船が移動する速度は、

静水時の時速12km+流れの時速4km=時速16km

となりますから、この速度で45分=0.75時間進むと、

距離=速度×時間=時速16km×0.75時間=12km(答え)

以上のような計算となります。

重要1:船の速度と流れの速度は分割して考えることが出来る

上の例題のようなシンプルな問題ではなく、もっと複雑な問題を解く際に重要なポイントとなる内の1つに「船の速度と流れの速度は分割して考えることが出来る」という点があります。上の例題の結果を使って説明します。

上の例題の結果を1つの式で書くと、

(時速12km+時速4km)×0.75時間=12km(答え)

ですが、意味としては冒頭で説明したように「下りの場合は進む方向に流れが押してくれるので、その分だけ移動する速度が速くなり、その速くなった速度に時間をかけて距離が算出される」ものとなります。

これは(川の流れが止まる訳がないという意味の現実性は無視して)以下のように考え直すことも可能です。

流れが止まっている間に船が自力で0.75時間進んで停止した後に、川が流れ出して0.75時間流された。

以上の状況で進んだ距離を式で書くと、

時速12km×0.75時間+時速4km×0.75時間
=9km+3km
=12km(答え)

となり、当然ながら最初に算出した「12km」という結果と同じとなります。

以上の「書き換え」を上では「意味」から説明しましたが、もう少し機械的に式の変形で理解すると、(分配法則が登場するので算数の範疇を超えているかも知れませんが)最初の考え方の式を後からの考え方の式に以下のように変形出来ます。

(時速12km+時速4km)×0.75時間
=時速12km×0.75時間+時速4km×0.75時間

このように式で理解しても「船の速度と流れの速度は分割して考えることが出来る」ことは明白となります。

以上は「下り」で説明しましたが、「上り」に関しても全く同じ結論となります。

重要2:「下りの速度と上りの速度の平均」と「平均速度」を混同しない

次に述べる内容は「下り」と「上り」の両方が必要ですので、別の例題(シンプルなもの)で説明します。

ある川に沿って48km離れている甲地点と乙地点を船で往復したところ、上りは6時間、下りは4時間かっかった。
この川の流れは時速何kmか求めなさい。

教えてください!!問題が解けません…。問題ある川に沿って48km離れている甲地... - Yahoo!知恵袋より引用

下りの速度(静水時の船の速度+流れの速度)
距離÷時間=速度より
48km÷4時間=時速12km

上りの速度(静水時の船の速度-流れの速度)
距離÷時間=速度より
48km÷6時間=時速8km

静水時の船の速度は下りの速度と上りの速度の平均なので(後に詳しく説明します)、
(12+8)÷2=時速10km

答え(流れの速度)は
下り時速12km-静水時時速10km=時速2km
(静水時時速10km-上り時速8km=時速2kmでも同じ)。

例題の回答は以上ですが、途中で登場した「静水時の船の速度は下りの速度と上りの速度の平均」が重要なポイントとなりますので、詳しく説明します。

まずは式で理解すると、

下り=静水時の速度+流れの速度
上り=静水時の速度-流れの速度

なので、両者を足すと

下り+上り
=静水時の速度+流れの速度+静水時の速度-流れの速度
=静水時の速度+静水時の速度+流れの速度-流れの速度
=静水時の速度+静水時の速度
=静水時の速度×2

となりますから、両辺を2で割ると、

(下り+上り)÷2=静水時の速度

となり、すなわち下りと上りの平均(足して2で割ったもの)が静水時の速度となります。

同じことを線分図で理解すると、上の例題の、
・下り=時速12km
・上り=時速8km
・静水時=時速10km
・流れ=時速2km

という値を用いて、□1つを時速2kmとして線分図を書くと、

下り=時速12km
□□□□□□

静水時=時速10km
□□□□□

上り=時速8km
□□□□

という風に、真ん中の静水時を基準として、流れの速度(□1つ)を加えたものが下り、差し引いたものが上りである訳ですから、下りと上りの平均(足して2で割ったもの)=静水時となることは一目瞭然となります。

と言う訳で、改めて太字で書きますと「静水時の船の速度は下りの速度と上りの速度の平均」が重要なポイントである訳ですが、もう1つ大切なポイントは、このことと混同して以下のような誤った考え方をしてはダメという点となります。

すなわち、上の例題で言えば、

「片道48kmの往復96kmを、上り6時間+下り4時間=計10時間で往復したのだから、上りと下りの平均が静水時の船の速度だから」と
静水時の速度=96km÷10時間=時速9.6km(誤り)

というような間違った考え方をしないということです。

この「時速9.6km」というのは「全体の平均の船の移動速度」なのであって、それと「静水時の船の速度」はイコールではありません。

この両者の関係をもう少し突っ込んで説明しておくと、

・船の平均的な移動速度は10時間で時速9.6km(①)であったが、
・流れの影響は、上りのほうが下りより6時間-4時間=2時間多く受けているので、
・すなわち上りと下りの差し引きで、流れ時速2km×2時間=4kmだけ、進む方向にマイナスに作用している(押し戻されている)ので、
・それを10時間かけて取り戻す、すなわち4km÷10時間=時速0.4kmを、
・①に加えた時速9.6km+時速0.4km=時速10kmが、船自身の速度(静水時の速度)となる。

という関係となっています。

最後に述べた部分は余談的なものではありますが(あくまで本筋は最初の説明)、相当難しい問題となってくると、最後に述べたような部分まで直感で思いつくような理解の深さが求められる問題も多々あります。

実際の流水算(そこそこ難しいもの)を解いてみる

上で述べた「基本」「重要1」「重要2」の内容を理解出来ていれば、大抵の問題は(けっこう難度の高いものであっても)解けると思います(冒頭で述べたように、速度の問題自体に関する理解の深さは必須となります)。

ここでは質問サイトの過去ログより、いくつかの流水算を引用し、実際に解いてみたいと思います。そこそこ難しい問題となります(超絶に難しい問題はありません)。

なお、ここで記す方法は、方程式やそれに類するものは一切使わずに、あくまで算数の範疇での解き方となります(当サイトの基本方針となります)。

例題

川の上流のA町と下流のB町を同じ船で往復するのに、上りは3時間、下りは2時間かかります、川の流れの速さを、毎時4Kmとし
次の問いに答えなさい。

(1)A町からB町までは何Kmですか。

(2)船の静水時の速さは、毎時何Kmですか。

子供(小五)の算数の問題です、質問されて困ってます、教えて下さい。1.川の上流... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・速度は所要時間の逆比となるので、速度比は
 上り:下り=2:3

・従って比の値で言えば、静水時の船の速度は
 (2+3)÷2=2.5

・従って比の値で言えば、流れの速度は
 静水時2.5-上り2=0.5
 (下り3-静水時2.5=0.5でも同じ)

・従って
 静水時2.5÷流れ0.5=5倍
 (静水時の船の速度は流れの速度の5倍)

・流れの速度は時速4kmなので、
 静水時の船の速度=時速4km×5倍=時速20km((2)の答え)

・上りに着目すれば
 距離=(時速20km-時速4km)×3時間=48km((1)の答え)
 (下りに着目し(20+4)×2=48kmでも同じ)

例題

川に沿って44Km離れた2点を船で移動したとき、川を上がる途中でエンジンが20分止まってしまった。 上がりに2時間、下りに1時間かかったとすると川の流れの速さはいくらか。

水流算です。 川に沿って44Km離れた2点を船で移動したとき、川を上... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・上りには2時間流れに押し戻されて、下りには1時間流れに押し進めてもらっているので、上りと下りでは、船が自力で進んだ距離には、実際の移動距離44kmとは別に、「流れの速度×3時間」分の差がある(上りのほうが自力で進んだ距離が多い)。時間の単位を分に変えると「流れの速度×180分」の差である。…(A)

・上りは2時間=120分の内、20分はエンジンが止まっていたので、自力で進んだのは100分である。下りはエンジンは止まっていないので、自力で進んだ時間は1時間=60分である。すなわち、上りのほうが下りよりも自力で進んだ時間は40分長い。…(B)

・すなわち、(A)の距離の差を(B)で取り返している訳だから、
 静水時の船の速度:流れの速度=180:40=9:2
 と分かる。

・従って下りに着目すると、
 下りの速度=44km÷1時間=時速44km
 の内訳が
 静水時の船の速度:流れの速度=9:2
 である訳だから、
 流れの速度=時速44km÷(9+2)×2=時速8km(答え)

例題

A君は上りのエスカレーターを1秒間に1段ずつ上がれば18秒間で上まで着くことができます。また、1秒間に2段ずつ上がったら、15秒で上に着きます。

このエスカレーターの段数(見えている部分)は何段か。

流水算について質問です。A君は上りのエスカレーターを1秒間に1段ずつ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

最後は少し変わった問題です。

・1秒間に1段ずつ上がったケースの自力で上がった段数
 1段/秒 × 18秒 = 18段 …(1)

・1秒間に2段ずつ上がったケースの自力で上がった段数
 2段/秒 × 15秒 = 30段 …(2)

・(1)、(2)よりエスカレーターの動いている速度は
 (30段-18段)÷(18秒-15秒)=4段/秒

・従って1段ずつのケースに着目すれば、全段数は
 (1段/秒+4段/秒)×18秒=90段(答え)

・ちなみに2段ずつのケースに着目しても同じ答え
 (2段/秒+4段/秒)×15秒=90段(答え)

おわりに

今まで本シリーズで4回にわたり「速度の問題の基本事項」「旅人算」「通過算」そして今回の「流水算」に関して解説しました。

これで速度の文章問題に関しては一通り解説したということで、本シリーズは今回で終わりとなります。

【算数】速度の文章問題の解き方の解説(3) 通過算を詳しく解説します

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

何回かに分けて「速度の文章問題の解き方」を解説している内の(「速度の文章問題の解き方の解説」というカテゴリー)、今回は3回目となります。通過算に関して詳しく解説します。

速度に関する基本的な計算に関しては深く理解出来ている前提となります。その部分の解説に関しては第1回記事(コチラ)に記しています。

なお、算数の領域では「速度」ではなく「速さ」と言うのかも知れませんが(詳しくは分かりません)、普段は使わない言葉なので、普段から使用している「速度」という文言を使用しています。

基本の解説

通過算というのはその他の問題と比べて何が難しいのはと言うと、それは「進む距離の把握」になります。それさえ把握出来れば、後はその他の速度を扱う問題と同じです(もちろん、この「後」の部分にも別の難しさを組み入れている問題もありますが)。

その「進む距離の把握」の部分に関してパターン分けして記します。

ある「地点」を通過する場合

例題.時速72kmで走る列車が、ある電柱の前を9秒で通り過ぎました。この列車の長さは何mですか。
(この問題は私の自作となります)

解答(解説)

厳密に言えば電柱にも「幅」がありますが、それを無視して長さの無い「点」として捉えたケースとなります。

列車が電柱の地点に到達した時、列車の前端と電柱の位置が揃っています。

そして通り過ぎ終わる時には、列車の後端と電柱の位置が揃います。

従って、その間に列車が走行する距離は「列車自身の長さ」となります。以下、例題の解答です。

・単位の変換
 時速72km=時速72000m=72000÷3600=秒速20m

・列車が進んだ距離
 秒速20m×9秒=180m

・列車が進んだ距離が列車自身の長さに他ならないので、
 答え 180m

長さのある場所を通り過ぎる場合

例題.長さが150mの列車が時速54kmで走っています。この列車が長さ300mの鉄橋を渡り始めてから渡り終えるまでには何秒かかりますか。
(この問題は私の自作となります)

解答(解説)

列車を■■、鉄橋を■■■■、空間を□として線分図で図示します。ちなみに敢えて空間に□を入れているのは、PCやスマホなど何で見てもレイアウトが崩れないようにする為です。鉄橋の上を列車は左から右に進みます。

(1)列車が渡り始めた時
□■■□□□□□□□
□□□■■■■□□□

(2)鉄橋の長さ分だけ進んだ後
□□□□□■■□□□
□□□■■■■□□□

(3)更に列車自身の長さを進んで渡り終わる
□□□□□□□■■□
□□□■■■■□□□

以上のように、(1)で列車の前端と鉄橋の起点が揃い、(2)で列車の前端と鉄橋の終点が揃います。そして(3)で列車の後端と鉄橋の終点が揃って「渡り終える」ことになります。すなわち、列車は鉄橋の長さ+列車自身の長さを進みます。上の図で言えば□を6マス分進んでいます。

これさえ把握出来れば例題は簡単に解けることになります。

・単位の変換
 時速54km=時速54000m=54000÷3600=秒速15m

・列車の進む距離
 鉄橋300m+列車自身150m=450m

・従って所要時間は
 450m÷秒速15m=30秒(答え)

トンネルの中に隠れているケース

例題.長さが150mの列車が450mのトンネルに入り終わってから出始めるまでに20秒かかりました。この列車の速度は時速何kmですか。
(この問題は私の自作となります)

解答(解説)

このケースは「入り終わってから出始めるまで」なので、すなわちトンネルの中に隠れている間を指していることになります。

上と同様に、
列車を■■、トンネルを■■■■■■として線分図を書くと以下の通りです。

(1)トンネルに入り終わった時
□□■■□□□□□□
□□■■■■■■□□

(2)トンネルを出始める直前
□□□□□□■■□□
□□■■■■■■□□

図から明らかなように、列車はトンネルの長さ-列車自身の長さを進みます(上図なら4マス分を進む)。図ではなく言葉(意味)で解釈する場合は、「列車がトンネルに入り終わった時、列車の後端とトンネルの入り口が揃っていて、そこからトンネルの長さ分の距離を進むと、列車の後端とトンネル出口が揃っていることになり、すなわち列車自身の長さ分だけはみ出してしまっているので、列車自身の長さ分だけ戻った距離が求めたい距離」となります。

これさえ把握出来れば例題は簡単に解けることになります。

・列車が進んだ距離
 トンネル450m-列車自身150m=300m

・従って列車の速度は
 300m÷20秒=秒速15m=15×3600=時速54000m=時速54km(答え)

列車どうしがすれ違ったり追い越されたりするケース

こちらは例題は省略しますが、考え方は2つ上で述べた「長さのある場所を通り過ぎる場合」とほぼ同じです。そこでの図を改めて記すと、
(上の■■が列車で下の■■■■が鉄橋)、

(1)列車が渡り始めた時
□■■□□□□□□□
□□□■■■■□□□

(2)鉄橋の長さ分だけ進んだ後
□□□□□■■□□□
□□□■■■■□□□

(3)更に列車自身の長さを進んで渡り終わる
□□□□□□□■■□
□□□■■■■□□□

この図の「鉄橋」を「停まっている列車」に置き換えて考えます。すなわち、すれ違ったり追い越されたりする間に進む距離(実際に進む距離という意味ではなく、2台の列車が相対的に移動する距離=片方を停まっていると考えれば、もう一方の動いている列車が進む距離)は、2台の列車を列車A、列車Bとすると、

列車A+列車B

の距離を進めば良いと分かります。

そして、例えば上の動いている列車の実際の速度が時速60km、下の停まっている列車の実際の速度が時速40kmなら向かい合ってすれ違う場合は動いている列車(実際の速度は時速60km)が時速100kmで通過することになりますし(停めている列車の実際の速度である時速40kmを加えれば良い)、逆に追い越す場合は時速20kmで通過することになります(同様に時速40kmを差し引けば良い)。

実際の難しい通過算を解いてみる

通過算の基本は以上で述べた通りであり、その内容自体はそれほど難しくないと思うのですが、実際の問題には倍数算などと組み合わせれていてけっこう難しい問題もありますので、いくつか実際に解いてみたいと思います。(超絶に難しい問題ではなく、そこそこの難度のものです)。

自作の問題を自分で解いても自作自演のようで何なので、問題は質問サイトの過去ログから引用致します。

例題

長さ200mの列車が、トンネルを通過するのに15秒かかった。
トンネルの3倍の長さの鉄橋を通過するのに35秒かかる。
この列車のスピードを求めよ。

通過算の問題で、 - 長さ200mの列車が、トンネルを通過するのに15秒かかった。ト... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

引用元では方程式で解かれていますが、ここでは方程式(やそれに類するもの)は使わずに純粋な算数として解きます(2問目以降の問題も全て同じ)。

列車の長さ200m+トンネルの長さ
が15秒かかり、

鉄橋=トンネルの3倍なので、

列車の長さ200m+トンネルの長さ+トンネルの長さ+トンネルの長さ
が35秒かかるので、

トンネルの長さ+トンネルの長さ

35秒-15秒=20秒
かかると分かり、

トンネルの長さ

20秒÷2=10秒
かかると分かるので、

最初の
列車の長さ200m+トンネルの長さ
で15秒は

5秒+10秒=15秒

となっていると分かりますから、

答え 200m÷5秒=秒速40m

以上、いわゆる消去算と通過算の組み合わせとなっています。

例題

ある路線で、特急Aが各駅停車Bとすれ違うのに20秒かかり、特急Aが各駅停車Bを追い越すときには100秒かかります。電車の長さは特急Aが300m、各駅停車Bが200mとすると、それぞれの速さは?

通過算の問題です。ある路線で、特急Aが各駅停車Bとすれ違うのに2... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

記述をすっきりさせる為に、それぞれの速度をA、Bとしますが、代入や移項など中学校で習うものは使用せず、あくまで小学校の算数の範疇で解きます。

すれ違う際の相対速度は
A+B

追い越す際の相対速度は
A-B

速度は所要時間の逆比なので
(A+B):(A-B)=100:20=5:1

すなわち
A+B=5
A-B=1

和差算より
A=(5-1)÷2+1=3
B=(5-1)÷2=2

A+Bの速度は
(300m+200m)÷20秒=毎秒25m

従って
A=毎秒25m÷(3+2)×3=秒速15m(答え)
B=毎秒25m÷(3+2)×2=秒速10m(答え)

以上、和差算と通過算の組み合わせとなっています。

例題

長さ165メートルの列車が、トンネルに入り始めてから26秒後に、列車の先頭がトンネルの長さの5分の4まで進みました。その後、列車がトンネルを完全に出るまでに14秒かかりました。この列車の速さは秒速何メートルですか。また、トンネルの長さは何メートルですか。

通過算の問題です。解説お願いしますm(_ _)m - 長さ165メートルの列車... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

所要時間と距離は比例するので、

(トンネルの4/5):(トンネルの1/5+列車の長さ)=26:14=13:7

比の値では、13が「トンネルの4/5」なので、1/5は
13÷4=13/4

従って列車の長さは
7-13/4=28/4-13/4=15/4

この15/4が165mに相当するので、比の値の1は
165m÷15/4=165×4/15=44m
に相当するから、

トンネルの長さ=44m×(13+13/4)=44×65/4=715m(答え)

列車の速度=(715m×4/5)÷26秒=秒速22m(答え)

以上、相当算と通過算の組み合わせとなっています。

例題

長さ9mの2台のバスが走っている。
長さ12mのバスが1台目の9mのバスを抜くのに7秒かかった。
2台目のバスを抜くのには さらに13秒かかった。
2代の9mのバスの車間距離は?

至急!!【問題】長さ9mの2台のバスが走っている。長さ12mのバスが1台目の9... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

普通は並んで走っているものは前が1台目、後ろが2台目ですが、この問題の記述は追い越される順番で後ろが1台目、前が2台目となっていますので、これをそのまま使って記述します。

1台目のバスを追い越すのに、追い越したバスが追い越されたバスより多く進んだ距離は、
9m+12m=21m

これに7秒かかり、更に2台目を追い越すまでに13秒掛かった訳だから、その際に追い越すバスが追い越されるバスより多く進んだ距離は、
21m×13/7=39m

1台目を追い越した直後、1台目のバスの前端と追い越すバスの後端が揃っていて、そこから13秒経ち(相対的に)追い越すバスが39m進んだ際には、2台目のバスの前端と追い越したバスの後端が揃っている訳だから、1台目と2台目の前端どうしが39m離れていると分かることから、

車間距離=39m-9m=30m(答え)

例題

速さが同じである列車A、BがありAの列車の長さはBの長さの2倍である。AとBがすれ違うのに30秒かかった。このとき、列車の長さがBの2倍で速さがBの3/4倍のCがAに追いついてから追い越すまでに何分かかるか。

通過算の問題です。速さが同じである列車A、BがありAの列車の長さはBの... - Yahoo!知恵袋より引用

注)そのまま引用していますが、問題文中の「3/4倍」は正しくは「4/3倍(3分の4倍)」です。

解答(解説)

長さも速度も単位を設定しませんので、途中で①と②として算出する「所要時間」にも単位はありませんが、両者の基準となる長さと時間を共通としていることから、その比率(②÷①=8倍)は正しく把握出来る、というような解き方としています。

列車Aを以下のように設定します。
・長さ=2
・速度=3

すると列車BはAとの関係より
・長さ=2÷2=1
・速度=3

すると列車AとBがすれ違う際は
・2台合わせた移動距離=2+1=3
・2台合わせた速度=3+3=6
・所要時間=3÷6=0.5 …①

次に、列車CはBとの関係より
・長さ=1×2=2
・速度=3×4/3=4

この列車Cが列車Aを追い越すのには
・付ける距離の差=2+2=4
・2台の速度差=4-3=1
・所要時間=4÷1=4 …②

②÷①=8倍

また①は30秒なので、

②=30秒×8=240秒=4分 (答え)

おわりに

今回は本シリーズの第3回でしたが、暫くは引き続き本シリーズを更新する予定です。

【算数】速度の文章問題の解き方の解説(2) 旅人算(出会い算・追いつき算)を詳しく解説します

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

何回かに分けて「速度の文章問題の解き方」を解説している内の(「速度の文章問題の解き方の解説」というカテゴリー)、今回は2回目となります。旅人算(出会い算・追いつき算)に関して詳しく解説します。

速度に関する基本的な計算に関しては深く理解出来ている前提となります。その部分の解説に関しては第1回記事(コチラ)に記しています。

なお、算数の領域では「速度」ではなく「速さ」と言うのかも知れませんが(詳しくは分かりません)、普段は使わない言葉なので、普段から使用している「速度」という文言を使用しています。

出会い算

例題.家から学校まで900mあります。兄は家から学校へ向けて、弟は学校から家へ向けて同時に出発しました。兄は分速90mで、弟は分速60mで歩きます。2人が出会うのは出発してから何分後ですか。

(この問題は私の自作となります)

標準的な解き方

線分図を書くと以下の通りです。

兄--→←-弟

2人は900m離れていて、同じ時間内に兄のほうが弟よりも多く歩き、かつ2人の歩いた距離の合計が900mであることを表しています。

2人が歩いた時間が□分として、

兄が進んだ距離
分速90m×□分

弟が進んだ距離
分速60m×□分

従って2人の合計は
分速90m×□分+分速60m×□分

カッコでくくって書き直すと
(分速90m+分速60m)×□分

となります。なお、最後の式は「2人合わせた速度の和×時間」という風に最初から考えていきなりこの式を立てても構いません。

2人合わせて進んだ距離が900mである訳ですから、

(分速90m+分速60m)×□分=900m

となり、

□分=900m÷(分速90m+分速60m)=6分 (答え)

と算出されます。慣れてくると最後に答えを算出している式のみを書くようになると思います。

比を使った解き方

難度の高い文章問題へ向けては次に述べるような思考方法は必須であると感じています。

改めて線分図を書きます。

兄--→←-弟

進む距離は速度に比例しますので、2人が進んだ距離の比は
兄:弟=90:60=3:2

と分かります。従って例えば兄に着目すると

進んだ距離=900m×3÷(3+2)=540m
その所要時間=540m÷分速90m=6分 (答え)

と分かり、これが答えとなります。

当然ながら弟に着目しても、

進んだ距離=900m×2÷(3+2)=360m
その所要時間=360m÷分速60m=6分 (答え)

と同じ答えが導かれます。

このような思考方法が難度の高い文章問題に向けては必須である点に関しては、後半で述べたいと思います。

以上が「出会い算」の基本となります。

追いつき算

例題.弟が家を出てから5分後に兄が家を出発し追いかけました。弟は分速60mで、兄は分速90mで歩きます。兄が弟に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか。

(この問題は私の自作となります)

標準的な解き方

線分図を書くと以下の通りです。

兄-----→
弟-→---→

弟が「-→」の部分だけ先に歩き、その後に兄が出発して、トータルでは2人とも同じ距離を歩いたことを表しています。すなわち、家から追いついた地点までに2人が歩く距離は等しくなります。

弟が先に1人で歩いた「-→」の部分の距離は
分速60m×5分=300m

なので、兄はこの距離を2人の速度の差で詰めることになります。すなわち兄の出発後、2人の距離は1分あたり、

90m-60m=30m

縮まりますから、

300m÷毎分30m=10分後 (答え)

に2人の差はゼロになり、すなわち兄が弟に追い付くと分かります。

これを1つの式で書くと、

300m÷(分速90m-分速60m)=10分後 (答え)

となります。

比を使った解き方

出会い算の時と同様に、比を使った解き方も記します。

改めて線分図を書きます。

兄-----→
弟-→---→

兄が出発してから2人が同時間で歩いている、
兄の「-----→」と、
弟の「---→」
の距離の比は速度比より

兄:弟=90:60=3:2

と分かります。従って先に弟だけ歩いていた「-→」の部分はこの比の値で言えば
3-2=1

と分かります。これが先述の計算より300mである訳ですから、兄が歩いた距離は
300m×3倍=900m

と分かります。従ってその所要時間は
900m÷分速90m=10分後 (答え)

となります。

弟の「---→」に着目しても
距離=300m×2倍=600m
所要時間=600m÷分速60m=10分後 (答え)

と同じ答えが出ます。

また検算として弟のトータルを考えると、

分速60m×(先行5分+同時10分)=900m

となり、兄の歩いた距離と一致しています。

以上が「追いつき算」の基本となります。

難度の高めの問題を実際に解いてみる

あまりに難しいものはやめますが、「公式に当てはめる」とか「パターンを丸覚え」などでは到底太刀打ち出来ないような問題をいくつか実際に解いてみます。

自分で問題を作って自分で解いても自作自演のようで意味が無いので、質問サイトの過去ログから問題を引用して解いていきたいと思います。

なお、上で解説した内容は理解されているという前提で、線分図などは適度に端折って解答を記しています。

例題1

池を一周するのにAは8分、Bは7分かかります。
同じ所から反対の向きに歩き始めました。
二人が出会うのは何分何秒後ですか。

子供(小6)の宿題ですが割合を使って解くそうです。問題)池を一... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

さっそくですが、この問題は距離も速度も登場しない問題となります。

・速度比は所要時間の逆比となるので
 A:B=7:8

・従って2人が出会うまでに歩く距離は速度比より
 A=7/15周
 B=8/15周

・従って歩く時間は
 A=8分×7/15=56/15分=3と11/15分=3分44秒(答え)
 B=7分×8/15=56/15分=3と11/15分=3分44秒(答え)

※最後の答えはA、Bどちらか1つで構わなくて、もう片方は検算となります。

例題2

20分おきに電車が走っている線路に平行した道路で、自転車が時速12kmで走っています。この自転車は反対方向から16分おきに電車とすれちがっています。電車の速さは時速何kmですか。

出会い算です - 20分おきに電車が走っている線路に平行した道路で、自転車が... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

引用元の回答はいずれも方程式を使用していますが、ここではあくまで「算数」として解きます。

・仮に自転車の人が立ち止まっていれば電車とは20分おきにすれ違う。

・しかし実際には16分おきにすれ違うということは、電車の速度に自転車の速度である時速12kmを加えると、速度が20/16=5/4倍となると分かる。

・従って線分図で表すと、電車の速度が□□□□、自転車の速度(時速12km)が■として
 □□□□■

・以上のように□□□□に対して■(時速12km)を加えると5/4倍になる訳だから、
 電車の速度□□□□は
 時速12km×4倍=時速48km(答え)

・検算
 電車の運行間隔=時速48km×20分=16km
 出会う時間=16km÷(時速48+12km)=16分 O.K.

例題3

周囲1㎞の池のまわりを、A、B二人がそれぞれ一定の速さで歩くとき、同時に、同じ場所を出発して、反対の方向にまわると6分後にはじめて出会い、 同じ方向にまわると30分後にAがBをちょうど一周追い抜く。A、B二人の歩く速さは、それぞれ毎時何㎞か。

出会い算です - 周囲1㎞の池のまわりを、A、B二人がそれぞれ一定の... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

記述をすっきりさせる為にそれぞれの速度をA、Bという文字で記しますが、方程式(式の変形や値の代入など)は使用しておらず、あくまで「算数」の範疇の解き方となります。

・「反対の方向にまわると6分後にはじめて出会い、 同じ方向にまわると30分後にAがBをちょうど一周追い抜く」より、所要時間と速度は逆比であることから
 (A+B):(A-B)=30:6=5:1

・すなわち
 A+B=5
 A-B=1

・従って和差算より
 A=(5-1)÷2+1=3
 B=(5-1)÷2=2
 すなわち速度比は
 A:B=3:2

・従って6分で2人合わせて1周1kmを歩く際、速度比より
 Aは600m
 Bは400m
 歩いているので、

・答え
 A=600m÷6分=分速100m=時速6km
 B=400m÷6分=分速200/3m=時速4km

・検算
 1km÷(時速6+4km)=1/10時間=6分 O.K.
 1km÷(時速6-4km)=1/2時間=30分 O.K.

おわりに

今回は本シリーズの第2回でしたが、暫くは引き続き本シリーズを更新する予定です。

【算数】速度の文章問題の解き方の解説(1) 基本事項の解説(速度の公式の本質的な意味)

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

今回を第1回として、何回かに分けて速度の文章問題に関する解説を記します(「速度の文章問題の解き方の解説」というカテゴリーとなります)。

旅人算」とか「通過算」など色んなパターンの特殊算がありますが、今回は1回目ということで、いわゆる基本事項とその本質的な意味を述べたいと思います。

なお、算数の領域では「速度」ではなく「速さ」と言うのかも知れませんが(詳しくは分かりません)、普段は使わない言葉なので、普段から使用している「速度」という文言を使用しています。

速度の公式

私は速度に関して「公式を覚えた」という感覚はありません(子供の頃から現在においてもずっと「公式に当てはめる」という感覚がありません)。

その辺りのことを公式と絡めて記したいと思います。

距離÷時間=速度

速度というのは単位あたりの時間でどれだけの距離を進んだかを表すものですから、例えば3時間で距離120kmを進んだ場合は、1時間あたり120km÷3=40km進んでいますので、これを公式に当てはめた形で記すと、

距離÷時間=速度
120km÷3時間=時速40km

となります。

時速の単位を「km/時」と表現し

120km÷3時間=40km/時

と記したほうが分数として「分子に距離があり、分母が単位あたりの1時間となっている」と分かりやすいようにも思います。

速度×時間=距離

上では進んだ距離と所要時間が与えられ速度を算出しましたが、例えば速度と時間が与えられ、進んだ距離を算出する場合、例えば時速40kmで3時間進んだ場合の距離を算出する場合は、上と同様にイメージで「1時間あたりに40km進む速度で3時間進むのだから」と考えれば40km×3=120kmと分かりますが、これを公式に当てはめた形で記すと、

速度×時間=距離
時速40km×3時間=120km

となります。

これも時速の単位を「km/時」で表現すると

40km/時 × 3時間 = 120km

となり、40km/時の分母に居る「時」(時間)と後から掛けている3時間の「時間」が約分されて答えには「km」だけ残る様がイメージしやすいようにも思います。

距離÷速度=時間

こちらも全く同様の内容になりますが、例えば距離120kmを時速40kmで進むと何時間かかりますか?と問われた際には、イメージで「1時間で40km進むことを3回繰り返せば良い」すなわち120km÷40km=3回=3時間と分かりますが、これを公式に当てはめた形で記すと、

距離÷速度=時間
120km÷時速40km=3時間

となります。

時速の単位を「km/時」でイメージする場合、こちらは今までの分より少し難しくなり、すなわち分数の割り算となりますので、「ひっくり返して掛ける」ことになり、

120km ÷ 40km/時
=120km × 時/40km
=3時間

という形で前の「km」と後ろの「分母のkm」が約分されて無くなり、後ろの分子の「時」だけが残る格好となります。

数量として理解する

上で述べたイメージを線分図で可視化して補足説明します。

1番目で述べた

距離÷時間=速度
120km÷3時間=時速40km

なら、□1つを10kmとして考えると

□□□□□□□□□□□□

上の距離(□12個分)を3時間で進んだ訳ですから、

□□□□+□□□□+□□□□

という風に3等分すると□□□□が1時間分と分かり、すなわち時速40km(1時間で40km進む速さ)と分かります。

これが公式による計算の本質的な意味となります。

2番目で述べた

速度×時間=距離
時速40km×3時間=120km

なら、同様に□1つを10kmとして考えると

時速40kmは

1時間で
□□□□
進む訳ですから、

3時間進むと

□□□□+□□□□+□□□□

となって120km(□が12個分)となります。これが公式による計算の本質的な意味となります。

3番目に述べた

距離÷速度=時間
120km÷時速40km=3時間

なら、同様に□1つを10kmとして考えると

□□□□□□□□□□□□

上の距離(□12個分)を、

1時間あたり
□□□□

の速さで進むと、

□□□□+□□□□+□□□□

と3回繰り返す必要があるので所要時間は3時間だと分かる訳です。これが公式による計算の本質的な意味となります。

おわりに

特殊算も難しいものになると、速度や距離などが値としては出てこないものなど色んな複雑なものがあり、「公式を当てはめる」とか「パターンで覚える」みたいなやり方では到底太刀打ち出来ないようなものが多々あると感じています。

逆に、今回述べたような本質的な部分が理解出来ていてイメージさえ出来れば、相当難しいものでも考えれば何とかなるものが多いという印象です。

そんな訳で、次回(2回目)以降は具体的な特殊算について解説していきたいと思います。

【算数】これも「相当算」なの!?と思った文章問題

はじめに

相当算や分配算など定義が曖昧な部分もあるとは思うのですが、それはさておいて、前回の記事で相当算のことを記すのに質問サイトにて「相当算」というキーワードで過去ログを見ている際に「これも相当算なの!?」と思ってしまった問題があったのでいくつか紹介すると共に、自分で解いた解答も記します。

これも相当算なの!?

問題

わら半紙と画用紙があります。わら半紙の5分の1と画用紙の3分の1が等しく、両方の合計は2400枚です。わら半紙と画用紙は、それぞれ何枚ずつありますか。

相当算の解き方わかる方お願いします(;_;) - わら半紙と画用... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

じゃあ、何算と言うのが妥当なのかと言われれば適切に答えられる訳では無いのですが、倍数算か分配算だと私には思えました。

・わら半紙の1/5と画用紙の1/3が等しいので、枚数の比は
 わら半紙:画用紙=5:3

・以上により
 わら半紙の枚数
 2400枚×5÷(5+3)=1500枚 (答え)
 画用紙の枚数
 2400枚×3÷(5+3)=900枚 (答え)

問題

赤、黄、青の3本のテープがあります。黄は赤の2倍、青は黄の3/4の長さです。
3本のテープの長さの合計は6.3mです。黄色のテープは何mでしょう。

中学受験の問題です。教えてください。 - 赤、黄、青の3本のテ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

これも倍数算か分配算のように思える問題でした。なんせ各々の「倍数」の関係さえ把握すれば簡単に答えが出ます(最初の問題と同様)。

・黄を基準1として各々を比で表すと
 赤:黄:青=1/2:1:3/4

・この比を整数で書き直すと(4倍すれば良い)
 赤:黄:青=2:4:3

・以上により黄の長さは
 6.3m×4÷(2+4+3)=2.8m (答え)

問題

A君はB君の5倍のお金をもっていましが、その後2人とも1050円づつもらったので、A君の金額はB君の2倍になりました。
はじめA君はいくら持っていましたか。

相当算の問題です。A君はB君の5倍のお金をもっていましが、その... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

これは典型的な倍数算であるように思いました。

・お金をもらう前
 A君:B君=5:1 …①
 (差は4)

・お金をもらった後
 A君:B君=2:1 …②
 (差は1)

・2人とも同額ずつもらっているので、2人の持っているお金の「差」はお金をもらう前ももらった後も変わらないので、「差」が等しくなるように比を書き換える。すなわち②を4倍する。
 A君:B君=8:4 …②'

・①→②'を見た時、A君もB君も「3」ずつ増えており、それが1050円に相当するので、「1」は1050円÷3=350円と分かる。

・以上により最初にA君が持っていたお金は
 350円×5=1750円 (答え)

おわりに

以上、これも「相当算」なの!?と思った文章問題を紹介しました。今回取り上げた問題は、特殊算として考えた時の難度は全て簡単な部類と思います。