数学ではなく「算数」の適度に難しい文章問題を集めてみた

質問サイトの過去ログ等で見つけた特殊算の文章問題を引用し解いていくページです

【算数】速度の文章問題の解き方の解説(2) 旅人算(出会い算・追いつき算)を詳しく解説します

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

何回かに分けて「速度の文章問題の解き方」を解説している内の(「速度の文章問題の解き方の解説」というカテゴリー)、今回は2回目となります。旅人算(出会い算・追いつき算)に関して詳しく解説します。

速度に関する基本的な計算に関しては深く理解出来ている前提となります。その部分の解説に関しては第1回記事(コチラ)に記しています。

なお、算数の領域では「速度」ではなく「速さ」と言うのかも知れませんが(詳しくは分かりません)、普段は使わない言葉なので、普段から使用している「速度」という文言を使用しています。

出会い算

例題.家から学校まで900mあります。兄は家から学校へ向けて、弟は学校から家へ向けて同時に出発しました。兄は分速90mで、弟は分速60mで歩きます。2人が出会うのは出発してから何分後ですか。

(この問題は私の自作となります)

標準的な解き方

線分図を書くと以下の通りです。

兄--→←-弟

2人は900m離れていて、同じ時間内に兄のほうが弟よりも多く歩き、かつ2人の歩いた距離の合計が900mであることを表しています。

2人が歩いた時間が□分として、

兄が進んだ距離
分速90m×□分

弟が進んだ距離
分速60m×□分

従って2人の合計は
分速90m×□分+分速60m×□分

カッコでくくって書き直すと
(分速90m+分速60m)×□分

となります。なお、最後の式は「2人合わせた速度の和×時間」という風に最初から考えていきなりこの式を立てても構いません。

2人合わせて進んだ距離が900mである訳ですから、

(分速90m+分速60m)×□分=900m

となり、

□分=900m÷(分速90m+分速60m)=6分 (答え)

と算出されます。慣れてくると最後に答えを算出している式のみを書くようになると思います。

比を使った解き方

難度の高い文章問題へ向けては次に述べるような思考方法は必須であると感じています。

改めて線分図を書きます。

兄--→←-弟

進む距離は速度に比例しますので、2人が進んだ距離の比は
兄:弟=90:60=3:2

と分かります。従って例えば兄に着目すると

進んだ距離=900m×3÷(3+2)=540m
その所要時間=540m÷分速90m=6分 (答え)

と分かり、これが答えとなります。

当然ながら弟に着目しても、

進んだ距離=900m×2÷(3+2)=360m
その所要時間=360m÷分速60m=6分 (答え)

と同じ答えが導かれます。

このような思考方法が難度の高い文章問題に向けては必須である点に関しては、後半で述べたいと思います。

以上が「出会い算」の基本となります。

追いつき算

例題.弟が家を出てから5分後に兄が家を出発し追いかけました。弟は分速60mで、兄は分速90mで歩きます。兄が弟に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか。

(この問題は私の自作となります)

標準的な解き方

線分図を書くと以下の通りです。

兄-----→
弟-→---→

弟が「-→」の部分だけ先に歩き、その後に兄が出発して、トータルでは2人とも同じ距離を歩いたことを表しています。すなわち、家から追いついた地点までに2人が歩く距離は等しくなります。

弟が先に1人で歩いた「-→」の部分の距離は
分速60m×5分=300m

なので、兄はこの距離を2人の速度の差で詰めることになります。すなわち兄の出発後、2人の距離は1分あたり、

90m-60m=30m

縮まりますから、

300m÷毎分30m=10分後 (答え)

に2人の差はゼロになり、すなわち兄が弟に追い付くと分かります。

これを1つの式で書くと、

300m÷(分速90m-分速60m)=10分後 (答え)

となります。

比を使った解き方

出会い算の時と同様に、比を使った解き方も記します。

改めて線分図を書きます。

兄-----→
弟-→---→

兄が出発してから2人が同時間で歩いている、
兄の「-----→」と、
弟の「---→」
の距離の比は速度比より

兄:弟=90:60=3:2

と分かります。従って先に弟だけ歩いていた「-→」の部分はこの比の値で言えば
3-2=1

と分かります。これが先述の計算より300mである訳ですから、兄が歩いた距離は
300m×3倍=900m

と分かります。従ってその所要時間は
900m÷分速90m=10分後 (答え)

となります。

弟の「---→」に着目しても
距離=300m×2倍=600m
所要時間=600m÷分速60m=10分後 (答え)

と同じ答えが出ます。

また検算として弟のトータルを考えると、

分速60m×(先行5分+同時10分)=900m

となり、兄の歩いた距離と一致しています。

以上が「追いつき算」の基本となります。

難度の高めの問題を実際に解いてみる

あまりに難しいものはやめますが、「公式に当てはめる」とか「パターンを丸覚え」などでは到底太刀打ち出来ないような問題をいくつか実際に解いてみます。

自分で問題を作って自分で解いても自作自演のようで意味が無いので、質問サイトの過去ログから問題を引用して解いていきたいと思います。

なお、上で解説した内容は理解されているという前提で、線分図などは適度に端折って解答を記しています。

例題1

池を一周するのにAは8分、Bは7分かかります。
同じ所から反対の向きに歩き始めました。
二人が出会うのは何分何秒後ですか。

子供(小6)の宿題ですが割合を使って解くそうです。問題)池を一... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

さっそくですが、この問題は距離も速度も登場しない問題となります。

・速度比は所要時間の逆比となるので
 A:B=7:8

・従って2人が出会うまでに歩く距離は速度比より
 A=7/15周
 B=8/15周

・従って歩く時間は
 A=8分×7/15=56/15分=3と11/15分=3分44秒(答え)
 B=7分×8/15=56/15分=3と11/15分=3分44秒(答え)

※最後の答えはA、Bどちらか1つで構わなくて、もう片方は検算となります。

例題2

20分おきに電車が走っている線路に平行した道路で、自転車が時速12kmで走っています。この自転車は反対方向から16分おきに電車とすれちがっています。電車の速さは時速何kmですか。

出会い算です - 20分おきに電車が走っている線路に平行した道路で、自転車が... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

引用元の回答はいずれも方程式を使用していますが、ここではあくまで「算数」として解きます。

・仮に自転車の人が立ち止まっていれば電車とは20分おきにすれ違う。

・しかし実際には16分おきにすれ違うということは、電車の速度に自転車の速度である時速12kmを加えると、速度が20/16=5/4倍となると分かる。

・従って線分図で表すと、電車の速度が□□□□、自転車の速度(時速12km)が■として
 □□□□■

・以上のように□□□□に対して■(時速12km)を加えると5/4倍になる訳だから、
 電車の速度□□□□は
 時速12km×4倍=時速48km(答え)

・検算
 電車の運行間隔=時速48km×20分=16km
 出会う時間=16km÷(時速48+12km)=16分 O.K.

例題3

周囲1㎞の池のまわりを、A、B二人がそれぞれ一定の速さで歩くとき、同時に、同じ場所を出発して、反対の方向にまわると6分後にはじめて出会い、 同じ方向にまわると30分後にAがBをちょうど一周追い抜く。A、B二人の歩く速さは、それぞれ毎時何㎞か。

出会い算です - 周囲1㎞の池のまわりを、A、B二人がそれぞれ一定の... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

記述をすっきりさせる為にそれぞれの速度をA、Bという文字で記しますが、方程式(式の変形や値の代入など)は使用しておらず、あくまで「算数」の範疇の解き方となります。

・「反対の方向にまわると6分後にはじめて出会い、 同じ方向にまわると30分後にAがBをちょうど一周追い抜く」より、所要時間と速度は逆比であることから
 (A+B):(A-B)=30:6=5:1

・すなわち
 A+B=5
 A-B=1

・従って和差算より
 A=(5-1)÷2+1=3
 B=(5-1)÷2=2
 すなわち速度比は
 A:B=3:2

・従って6分で2人合わせて1周1kmを歩く際、速度比より
 Aは600m
 Bは400m
 歩いているので、

・答え
 A=600m÷6分=分速100m=時速6km
 B=400m÷6分=分速200/3m=時速4km

・検算
 1km÷(時速6+4km)=1/10時間=6分 O.K.
 1km÷(時速6-4km)=1/2時間=30分 O.K.

おわりに

今回は本シリーズの第2回でしたが、暫くは引き続き本シリーズを更新する予定です。

【算数】速度の文章問題の解き方の解説(1) 基本事項の解説(速度の公式の本質的な意味)

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

今回を第1回として、何回かに分けて速度の文章問題に関する解説を記します(「速度の文章問題の解き方の解説」というカテゴリーとなります)。

旅人算」とか「通過算」など色んなパターンの特殊算がありますが、今回は1回目ということで、いわゆる基本事項とその本質的な意味を述べたいと思います。

なお、算数の領域では「速度」ではなく「速さ」と言うのかも知れませんが(詳しくは分かりません)、普段は使わない言葉なので、普段から使用している「速度」という文言を使用しています。

速度の公式

私は速度に関して「公式を覚えた」という感覚はありません(子供の頃から現在においてもずっと「公式に当てはめる」という感覚がありません)。

その辺りのことを公式と絡めて記したいと思います。

距離÷時間=速度

速度というのは単位あたりの時間でどれだけの距離を進んだかを表すものですから、例えば3時間で距離120kmを進んだ場合は、1時間あたり120km÷3=40km進んでいますので、これを公式に当てはめた形で記すと、

距離÷時間=速度
120km÷3時間=時速40km

となります。

時速の単位を「km/時」と表現し

120km÷3時間=40km/時

と記したほうが分数として「分子に距離があり、分母が単位あたりの1時間となっている」と分かりやすいようにも思います。

速度×時間=距離

上では進んだ距離と所要時間が与えられ速度を算出しましたが、例えば速度と時間が与えられ、進んだ距離を算出する場合、例えば時速40kmで3時間進んだ場合の距離を算出する場合は、上と同様にイメージで「1時間あたりに40km進む速度で3時間進むのだから」と考えれば40km×3=120kmと分かりますが、これを公式に当てはめた形で記すと、

速度×時間=距離
時速40km×3時間=120km

となります。

これも時速の単位を「km/時」で表現すると

40km/時 × 3時間 = 120km

となり、40km/時の分母に居る「時」(時間)と後から掛けている3時間の「時間」が約分されて答えには「km」だけ残る様がイメージしやすいようにも思います。

距離÷速度=時間

こちらも全く同様の内容になりますが、例えば距離120kmを時速40kmで進むと何時間かかりますか?と問われた際には、イメージで「1時間で40km進むことを3回繰り返せば良い」すなわち120km÷40km=3回=3時間と分かりますが、これを公式に当てはめた形で記すと、

距離÷速度=時間
120km÷時速40km=3時間

となります。

時速の単位を「km/時」でイメージする場合、こちらは今までの分より少し難しくなり、すなわち分数の割り算となりますので、「ひっくり返して掛ける」ことになり、

120km ÷ 40km/時
=120km × 時/40km
=3時間

という形で前の「km」と後ろの「分母のkm」が約分されて無くなり、後ろの分子の「時」だけが残る格好となります。

数量として理解する

上で述べたイメージを線分図で可視化して補足説明します。

1番目で述べた

距離÷時間=速度
120km÷3時間=時速40km

なら、□1つを10kmとして考えると

□□□□□□□□□□□□

上の距離(□12個分)を3時間で進んだ訳ですから、

□□□□+□□□□+□□□□

という風に3等分すると□□□□が1時間分と分かり、すなわち時速40km(1時間で40km進む速さ)と分かります。

これが公式による計算の本質的な意味となります。

2番目で述べた

速度×時間=距離
時速40km×3時間=120km

なら、同様に□1つを10kmとして考えると

時速40kmは

1時間で
□□□□
進む訳ですから、

3時間進むと

□□□□+□□□□+□□□□

となって120km(□が12個分)となります。これが公式による計算の本質的な意味となります。

3番目に述べた

距離÷速度=時間
120km÷時速40km=3時間

なら、同様に□1つを10kmとして考えると

□□□□□□□□□□□□

上の距離(□12個分)を、

1時間あたり
□□□□

の速さで進むと、

□□□□+□□□□+□□□□

と3回繰り返す必要があるので所要時間は3時間だと分かる訳です。これが公式による計算の本質的な意味となります。

おわりに

特殊算も難しいものになると、速度や距離などが値としては出てこないものなど色んな複雑なものがあり、「公式を当てはめる」とか「パターンで覚える」みたいなやり方では到底太刀打ち出来ないようなものが多々あると感じています。

逆に、今回述べたような本質的な部分が理解出来ていてイメージさえ出来れば、相当難しいものでも考えれば何とかなるものが多いという印象です。

そんな訳で、次回(2回目)以降は具体的な特殊算について解説していきたいと思います。

【算数】これも「相当算」なの!?と思った文章問題

はじめに

相当算や分配算など定義が曖昧な部分もあるとは思うのですが、それはさておいて、前回の記事で相当算のことを記すのに質問サイトにて「相当算」というキーワードで過去ログを見ている際に「これも相当算なの!?」と思ってしまった問題があったのでいくつか紹介すると共に、自分で解いた解答も記します。

これも相当算なの!?

問題

わら半紙と画用紙があります。わら半紙の5分の1と画用紙の3分の1が等しく、両方の合計は2400枚です。わら半紙と画用紙は、それぞれ何枚ずつありますか。

相当算の解き方わかる方お願いします(;_;) - わら半紙と画用... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

じゃあ、何算と言うのが妥当なのかと言われれば適切に答えられる訳では無いのですが、倍数算か分配算だと私には思えました。

・わら半紙の1/5と画用紙の1/3が等しいので、枚数の比は
 わら半紙:画用紙=5:3

・以上により
 わら半紙の枚数
 2400枚×5÷(5+3)=1500枚 (答え)
 画用紙の枚数
 2400枚×3÷(5+3)=900枚 (答え)

問題

赤、黄、青の3本のテープがあります。黄は赤の2倍、青は黄の3/4の長さです。
3本のテープの長さの合計は6.3mです。黄色のテープは何mでしょう。

中学受験の問題です。教えてください。 - 赤、黄、青の3本のテ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

これも倍数算か分配算のように思える問題でした。なんせ各々の「倍数」の関係さえ把握すれば簡単に答えが出ます(最初の問題と同様)。

・黄を基準1として各々を比で表すと
 赤:黄:青=1/2:1:3/4

・この比を整数で書き直すと(4倍すれば良い)
 赤:黄:青=2:4:3

・以上により黄の長さは
 6.3m×4÷(2+4+3)=2.8m (答え)

問題

A君はB君の5倍のお金をもっていましが、その後2人とも1050円づつもらったので、A君の金額はB君の2倍になりました。
はじめA君はいくら持っていましたか。

相当算の問題です。A君はB君の5倍のお金をもっていましが、その... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

これは典型的な倍数算であるように思いました。

・お金をもらう前
 A君:B君=5:1 …①
 (差は4)

・お金をもらった後
 A君:B君=2:1 …②
 (差は1)

・2人とも同額ずつもらっているので、2人の持っているお金の「差」はお金をもらう前ももらった後も変わらないので、「差」が等しくなるように比を書き換える。すなわち②を4倍する。
 A君:B君=8:4 …②'

・①→②'を見た時、A君もB君も「3」ずつ増えており、それが1050円に相当するので、「1」は1050円÷3=350円と分かる。

・以上により最初にA君が持っていたお金は
 350円×5=1750円 (答え)

おわりに

以上、これも「相当算」なの!?と思った文章問題を紹介しました。今回取り上げた問題は、特殊算として考えた時の難度は全て簡単な部類と思います。

【算数】特殊算の解き方(8) 相当算の解き方を解説します

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

今回は「相当算」と呼ばれるものに関して記します。

定義は曖昧である気がする

今回取り上げる「相当算」の他、「分配算」なども同様のことを思うのですが、どんな内容の問題が「相当算」なのか?という意味では少し曖昧だと思います。例えばウィキペディアを引用すると、

お姉さんと弟は5:3の割合でお小遣いを持っていました。しかし、お姉さんは700円の本を買ったので、その割合は6:5になりました。二人は最初いくらお金を持っていたでしょうか。

相当算 - Wikipediaより引用

という問題が例題として挙げられているのですが、私の認識ではこれは典型的な「倍数算」なのだと思うのです(私の認識がおかしいのかも知れませんが)。

そんな訳で、質問サイト(ヤフー知恵袋)で「相当算」というキーワードで過去ログを見てみると、分数を使った問題で例えば本のページの何分の何を読んだ残りが何ページなので全体は何ページか?みたいな問題が多く挙がっており、このような問題が「相当算」であるというのは私の認識と一致しています。

そんな訳で、そのような問題を以下にいくつか列記しながら解き方を解説していきたいと思います。

なお、引用元(質問サイト)で方程式の答えを求めている質問であってもここでは全て「算数」で解くものとします。

相当算の解き方を解説します

共通事項(分数の割り算)

必ず出てくる事項なので最初にまとめて書いておくのですが、例えば

「全体の2/3が20ページに相当します」

という時には

全体
=20ページ÷2/3
=20ページ×3/2
=30ページ

と算出しますが、何故に20ページを2/3で「割る」と全体が出てくるかを説明しておきます。

「全体の2/3が20ページに相当します」

ということは、すなわち

全体 × 2/3 = 20ページ

ですから、両辺を2/3で割ると

全体 × 2/3 ÷ 2/3 = 20ページ ÷ 2/3

となり、

全体 = 20ページ ÷ 2/3

以上の通りとなります。

例題(超初級編)

アイさんは1冊の本を3日間で読みました。
1日目は全体の2/5、2日目は残りの4/9、
3日目は35ページ読みました。
この本は全部で何ページありますか?

相当算の解答・解説を教えて下さいアイさんは1冊の本を3日間で... - Yahoo!知恵袋 より引用

解答(解説)

超初級編であり線分図等は全く不要となります。

・全体のページ数を「1」とする。

・1日目
 読んだページ…2/5
 残りのページ…1-2/5=3/5

・2日目
 読んだページ…3/5 × 4/9 = 4/15
 残りのページ…3/5-4/15=5/15=1/3

・3日目に読んだのは35ページであり、それは2日目の残り、すなわち全体のページ数の1/3に相当するので
 全ページ
 =35ページ÷1/3
 =35ページ×3/1
 =105ページ (答え)

例題(初級編)

まさお君は持っていたお金の1/3を使い、次にその残りの3/4より20円多く使ったところ、100円残りました。はじめに持っていたお金は○円です。

まさお君は持っていたお金の1/3を使い、次にその残りの3/4より20円多く使った... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

最初の例題よりも「20円多く」の部分が余分となっています。

・最初に持っていた金額を「1」とする。

・最初
 使ったお金…1/3
 残ったお金…1-1/3=2/3

・その次に「残りの3/4」は使うが20円は使う前
 使ったお金…2/3 × 3/4 = 1/2
 残ったお金…2/3-1/2=1/6

・この「1/6」が100円+20円=120円に相当するので
 最初に持っていたお金
 =120円÷1/6
 =120円×6/1
 =720円 (答え)

例題(中級編01)

ある学校の生徒に、算数が一番好きという生徒は全体の生徒の54%より23人少なく、国語が一番好きという生徒は全体の60%より9人多いです。生徒は全体で何人ですか。

ある学校の生徒に、算数が一番好きという生徒は全体の生徒の54%より23人少な... - Yahoo!知恵袋 より引用

解答(解説)

少し難しくなりますが、まだまだ線分図等は不要です。

・54%=54/100

・60%=60/100

・両方を足すと114/100

・全体100に対して14オーバーしているが、ここから23人を引き、また9人を加えると丁度100になるハズなので、全体人数の14/100が
 23人-9人=14人
 に相当すると分かる。

・従って
 全体人数
 =14人÷14/100
 =14人×100/14
 =100人 (答え)

例題(中級編02)

Aさんは本を読んでいます。1日目に全体の2/5と15ページを読み、2日目に残りの2/3と17ページを読みました。まだ全体の5/36残っています。Aさんは合計何ページ読みましたか?

相当算の解き方について教えてください。Aさんは本を読んでいます。1... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

けっこう複雑になっていますが、まだまだ線分図等は用いなくても普通に計算で解けます。

・全体のページ数を「1」とし、これに対する割合は単位なしで、それとは別に実際のページ数の部分を「ページ」という単位を付けて表記する。

・1日目
 読んだページ
 2/5+15ページ
 残りのページ
 1-2/5-15ページ
 =3/5-15ページ

・2日目
 読んだページ
 3/5×2/3-15ページ×2/3+17ページ
 =2/5-10ページ+17ページ
 =2/5+7ページ
 残りのページ
 3/5-15ページ-2/5-7ページ
 =1/5-22ページ

・2日目の残りが全体の5/36なので
 1/5-5/36=11/180
 が「22ページ」に相当すると分かる。

・以上により
 全体
 =22ページ÷11/180
 =22ページ×180/11
 =360ページ

・2日間でAさんが読んだページは
 360ページ×(1-5/36)=310ページ (答え)

例題(上級編01)

砂の入った容器があります。
今、砂の 3/7 を捨てて、全体の重さを量ったら16kgでした。
さらに、容器に残っている砂の半分を捨てて全体の重さを量ったら、はじめの全体の重さの 2/5になりました。
容器の重さを求めなさい。

中学入試 相当算について - 下記の問題についてご回答願います。【砂... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

相当算としてはかなり難しい部類だと思いました。これも線分図などは無しで計算だけで解いてみます。

・砂の3/7を捨て、更に残りの半分を捨てたということは、砂全体の
 3/7+4/7×1/2=5/7
 を捨てている。

・これで容器も含めた全体の重さが2/5になったということは、上記の「砂全体の5/7」は容器も含めた全体の
 1-2/5=3/5
 に相当する。

・従って砂を捨てる前の、容器も含めた全体の内、砂は
 3/5 ÷ 5/7
 =3/5 × 7/5
 =21/25
 を占めていたと分かる。

・容器が占めていたのは
 1-21/25=4/25

・ここから砂の3/7を捨てると、容器も含めた重さが16kgになるので、この時の砂と容器の比率は
 砂の量
 21/25×(1-3/7)=12/25
 容器はそのまま
 4/25
 比率
 砂:容器=12:4=3:1

・以上により容器の重さは
 16kg×1÷(3+1)=4kg (答え)

例題(上級編02)

A君が何ページがある本を買い、何日かに分けて読むことにしました。1日目は全体の3分の1ページを読み、2日目は残りのページ数の4分の1と18ページを読みました。3日目は残りのページ数の7分の5を読みました。すると、残ったページ数が、全体の10分の1でした。この本は全部で何ページありますか?

小学校の先生から特別に出された問題です。 - 「A君が何ページがある本を買... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

これを最後の問題とします。なお引用元の回答(ベストアンサー)は私の回答ですが、引用(コピー)ではなく改めて記します。PCでも表現出来るような簡単な線分図を使用致します。

・全体のページ数を「1」とし、これに対する割合は単位なしで、それとは別に実際のページ数の部分を「ページ」という単位を付けて表記する。

・1日目
 読んだページ
 1/3
 残りのページ
 1-1/3=2/3

・2日目
 読んだページ
 2/3×1/4+18ページ
 =1/6+18ページ
 残りのページ
 2/3-1/6-18ページ
 =1/2-18ページ …①

・2日目の残り(上記①)を□7つで表現すると
 □□□□□□□

上記の内、3日目に読んだ「残りのページ数の5/7」を■で塗りつぶすと
 ■■■■■□□

・残った□□が「全体の1/10」なので、全体(全ページ数)は□が20個分と分かる。

・と言うことは、上記①(□が7つ分)は全体の7/20と分かるので、
 1/2-7/20=3/20
 が「18ページ」に相当すると分かる。

・以上により
 全ページ
 =18ページ÷3/20
 =18ページ×20/3
 =120ページ (答え)

おわりに

以上、相当算に関して記しました。

質問サイトの過去ログ等で見かけた文章問題を実際に私なりに解いているページは当ブログの以下のカテゴリーとなりますので、宜しければご覧下さい。

文章問題(初級編)

文章問題(中級編)

文章問題(上級編)

【算数】特殊算の解き方(7) ニュートン算の解き方を解説します

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

今回は「ニュートン算」と呼ばれるものに関して記します。

ニュートン算と仕事算の違い

前回記事(コチラ)で詳しく解説しました「仕事算」は仕事量が増えずに、仕事をすればするほどやった分だけ残りの仕事量が減っていきます。

それに対して今回の「ニュートン算」のほうは、例えば「生える草を牛が食べる」ケースが典型ですが、草の量は牛が食べた分は減るのですが、草自身が生えて増えますので、全体として減る量はそれらの差し引きとなります。

このような言い方が専門的に適切なのか分かりませんが、仕事算のほうは静的なものを扱っているイメージですが、ニュートン算のほうは動的なものを扱っているイメージで、図解するならば線分図とか面積図など静的なイメージよりも動的な「グラフ」のイメージとなります。

そのような部分を前半で解説し、後半では実戦の問題を解いていきたいと思います。

ニュートン算の解き方の解説

最もシンプルな問題を例題として解き方を解説致します。

例題

ある牧場では、300 頭の牛を放牧すると 10 日で牧草がなくなり、600 頭だと 4 日で牧草がなくなる。牛が 500 頭なら何日放牧できる (何日で牧草が完全になくなる) か。ただし、牛はみな 1 日に同じ量の牧草を食べ、牧草は毎日一定の割合で伸びるとする。

ニュートン算 - Wikipediaより引用

解き方を解説します

引用元にもグラフや解き方の解説がありますが、以下はそれとは異なります。自分で考えながら確立したやり方となります。

・牛1頭が1日に食べる草の量を「1」とします。

・300頭の場合、10日で食べつくしますので、食べつくした草の量は
 300頭×10日=3000

・600頭の場合、4日で食べつくしますので、食べつくした草の量は
 600頭×4日=2400

・ここで以下のグラフをイメージします(今回は解説としてきちんとグラフを書いていますが、実際にはメモ書き程度かイメージのみ)。

f:id:t-kazu-t:20171212013431j:plain

・「草が増えているペース」(いわゆる変化の割合)は1日あたり
 (3000-2400)÷(10日-4日)=100
 と分かります。

・すると「0日目」(すなわち最初にあった)草の量は
 2400-100×4日=2000
 と分かります。
 (3000-100×10日=2000と計算しても同じ)

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・以上でグラフの役割は終わりです。すなわち「変化の割合は100/日」と「最初にあった草の量は2000」を把握する為のイメージとなります。

・問題で問われている「500頭」を最初から放牧しますと、その内の100頭は「日々増える草」を食べることになりますので、最初にあった2000の草を食べつくすのは、残りの400頭で行うことになりますから、その所要日数は
 2000÷400頭=5日 (答え)

・検算は以下の通り行います。
 草の成長から算出される、5日経った時の草の量
 2000+100×5日=2500
 5日で牛が食べた量
 500頭×5日=2500
 両者が等しいのでO.K.

色々なニュートン算を解いてみます

問題

動物園の切符売り場に120人の行列ができています。その後も一定の割合で並ぶ人がいます。売り場の窓口を2つ開けると
30分で行列がなくなります。また 初めから売り場の窓口を3つ開けると12分で行列がなくなります。
① 並ぶ人は、1分間に何人いましたか?
②1つの窓口から入園できる人数は、1分間に何人ですか?
③窓口を4つ開けると何分何秒で行列がなくなりますか?

ニュートン算の方程式の立て方が分かりません。暮れのお忙しい時に... - Yahoo!知恵袋より引用

※原文では問いの後ろに答えが記されていますが、答えは削除して引用しています。

解答(解説)

一々グラフは書きませんが、上で解説した時のようなグラフをイメージして解いています(以降ずっと同じ)。また引用元の質問内容が方程式を求める場合でも方程式は使用せず算数での解き方を示しています(以降ずっと同じ)。

・窓口1つ1分あたりの処理人数を「1」とする。

・窓口2つの場合の処理人数
 2×30分=60

・窓口3つの場合の処理人数
 3×12分=36

・1分あたりの来客者数(増える処理数)
 (60-36)÷(30分-12分)=24/18=4/3

・開園時の待ち人数
 60-(4/3)×30分=20
 (36-(4/3)×12分=20でも同じ)

・この20が「120人」に相当するので、1は6人に相当する。

・1分あたりの来客者数
 6人×4/3=8人 (問①の答え)

・窓口1つ1分あたりの処理人数
 6人×1=6人 (問②の答え)

・窓口を4つ開けた場合、
 4(つ)の内の4/3は来客者を処理する
 残りの8/3で最初に待っていた20を処理する
 その所要時間は
 20÷(8/3)=20×3/8=7.5分=7分30秒 (問③の答え)

問題

あるテーマパークの開園前、改札口に行列が出来ています。行列の人数は毎分60人の割合で増えていきます。
改札口を4つ開くと6分で行列がなくなり、5つ開くと、3分でなくなります。
① 開園前、行列には、何人の人が並んでいましたか?
② 1分間に1つの改札口を通過する人数は、何人ですか?
③ 改札口を8つ開くと、何分何秒で行列は、なくなりますか?

ニュートン算の方程式の立て方が分かりません。暮れのお忙しい時に恐縮... - Yahoo!知恵袋より引用

※原文では問いの後ろに答えが記されていますが、答えは削除して引用しています。

解答(解説)

・改札1つ1分あたりの処理人数を「1」とする。

・改札4つの場合の処理人数
 4×6分=24

・改札5つの場合の処理人数
 5×3分=15

・1分あたりの来客者数(増える処理数)
 (24-15)÷(6分-3分)=3

・この3が「60人」に相当するので、1は
 60人÷3=20人

・開園時の待ち人数
 24-3×6分=6
 (15-3×3分=6でも同じ)
 人数に直すと
 20人×6=120人 (問①の答え)

・改札1つ1分あたりの処理人数は
 20人×1=20人 (問②の答え)

・改札を8つ開いた場合、
 8つの内の3つは来客者を処理する
 残りの5つで最初に待っていた6を処理する
 その所要時間は
 6÷5=1.2分=1分12秒 (問③の答え)

問題

遊園地の入り口に1200人が並んで入場を待っていて、さらに毎分10人の割合で増えています。
入り口が1つの時は入場を始めてから80分で列がなくなりました。
もし初めから入り口を2つにすると、列は何分でなくなりますか?

数学の質問です!ニュートン算の文章題を連立方程式で解かなけれ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

この問題は最初の待ち人数も、増加する割合も最初から分かっているので、入り口の処理能力だけ把握すれば良い問題となります。

・入り口1つで80分で処理した人数
 1200人+10人×80分=2000人

・従って入り口1つ1分あたりの処理人数
 2000人÷80分=25人

・入り口を2つとした場合の1分あたりの処理人数
 25人×2=50人

・入り口を2つとした場合、1分あたり処理出来る50人の内、10人は「増える来客者」を処理する為、最初に並んでいる1200人を処理する所要時間は
 1200人÷(50人-10人)=30分 (答え)

問題

この池の水を2台のポンプでくみ出したところ、1時間後に池にたまっている水の量は2分の1になりました。ここからポンプを1台にしてさらにくみ出したところ、それから2時間半後に、すべてくみ出されました。ポンプを止めた後、再び池の水が一杯になるまでにかかる時間はどれくらいですか。

公務員試験の数的処理の問題です。解き方があっているか確認を... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

その他の問題は冒頭の解説と同様にゼロ(グラフの左端)からの経過時間の差より変化の割合を算出しますが、この問題は全く異なります。印の部分にご注意下さい。

・ポンプ1台1時間あたりの排水量を「1」とする。

・ポンプ2台で1時間の排水量 …①
 2台×1時間=2

・ポンプ1台で2時間半=2.5時間の排水量
 1台×2.5時間=2.5

上の2と2.5は、どちらも池の水が減った量が池全体の半分(1/2)で「同じ」であるにも関わらず排水量が異なるが、それは排水時間が長いほど入ってくる水が増える為に排水量が多くなる為であり、そこに着目すると1時間あたり水が増えている量は以下の通り算出される。
 (2.5-2)÷(2.5時間-1時間)=1/3

上記①の1時間で2を排水しているが、この1時間で増えた1/3も排水しているので、元々あった水が減った分は
 2-1/3=5/3
 に相当する。

・この5/3が「池全体の半分」なので、池全体は10/3であり、1時間あたり水が増える量は1/3なので、空の状態から水が一杯になるまでにかかる時間は
 10/3 ÷ 1/3 = 10時間 (答え)

問題

映画館で切符を売り始めたとき、すでに行列ができており、毎分20人の割合で人が行列に加わるものとする。窓口が1つのときは1時間で行列はなくなり、窓口を5つにすると6分で行列がなくなる。切符を売り始めたときに並んでいた人数はどれか。ただし、どの窓口も1分間に同じ枚数を売るものとする。

映画館で切符を売り始めたとき、すでに行列ができており、毎分20人の割合で... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・窓口1つ1分あたりの処理人数を「1」とする。

・窓口が1つで1時間=60分の時の処理人数
 1×60分=60

・窓口がが5つで6分の時の処理人数
 5×6分=30

・1分あたりの来客者数(増える処理数)
 (60-30)÷(60分-6分)=5/9

・この5/9が「20人」に相当するので、1は
 20人÷5/9=20人×9/5=36人
 に相当する。

・売りはじめに並んでいる人数は
 60-(5/9)×60分=80/3
 (30-(5/9)×6分=80/3でも同じ)

・これを人数で表せば
 36人×80/3=960人 (答え)

各々の仕事量が異なるニュートン算の紹介

質問サイトで回答していて、各々の仕事量が異なるニュートン算を見かけまして、結構珍しいなぁ、なんて思って回答したものを最後にご紹介します。

以下の回答(ベストアンサー)の内容は私自身が記したものですが、他サイトからの引用という形でそのまま引用したいと思います。

中学受験 ニュートン算このような問題の解き方を、詳しく解説して頂... - Yahoo!知恵袋より問題文と回答部分を引用

問題

3匹のやぎA,B,Cはどれも草が大好きです。Aが21日で食べる量、AとBの2匹が12日で食べる草の量、BとCの2匹が7日で食べる草の量はどれも同じです。

(1)A,B,Cの3匹で食べると18日かかる草を、B,Cの2匹で食べると何日かかりますか。

(2)ある日、この3匹は牧草地へ行きました。そこの草は一定の割合で成長しています。

この牧草地にAだけをはなすと12日で草はなくなり、Bだけ放すと20日で草はなくなります。Cだけ放すと何日で草はなくなりますか。

回答

Aが1日で食べる量を4とする。
A=4

21日でAが食べる量
4×21日=84

それをA+Bで12日で食べる
1日あたり
A+B=84÷12日=7

従って
B=7-A=3

B+Cなら7日で食べる
1日あたり
B+C=84÷7=12

従って
C=12-B=9

解答(1)

A,B,Cの3匹で食べると18日かかる草の量
(4+3+9)×18日=288

これをB、Cで食べると
288÷(3+9)=24日 (答え)

解答(2)

「Aだけをはなすと12日で草は無くなる」
草の量
4×12日=48

「Bだけ放すと20日で草は無くなる」
3×20日=60

従って草は1日で
(60-48)÷(20日ー12日)=1.5
のびている

従って最初(0日)の草の量は
48-1.5×12日=30

それをCだけで食べると
1日9食べる内、1.5は日々のびる草を食べるので
30÷(9-1.5)=4日(答え)
で草は無くなる。

以上です。

おわりに

以上、ニュートン算に関して記しました。

質問サイトの過去ログ等で見かけた文章問題を実際に私なりに解いているページは当ブログの以下のカテゴリーとなりますので、宜しければご覧下さい。

文章問題(初級編)

文章問題(中級編)

文章問題(上級編)