小学三年生に小数の掛け算と割り算を瞬時にマスターさせた方法 【算数検定7級】

はじめに

・ここで記す方法(教え方)が教育的に正しいのかどうかは素人の私には分かりません。また似たような方法が世の中にあるのか(解説ページなどがあるのか)無いのかも敢えて調べずに書いています。なお、現在の私の考えなどは末尾で(余談で)述べます。

・現在小学四年生の息子がまだ三年生だった時(去年)、算数検定の7級(小学五年生程度)を受けることになり、準備期間も短めだったので(検定準備用の勉強をさせたのは一ヶ月弱だったと記憶しています。一日平均30分程度です)、それに出てくる小数の掛け算と割り算の解き方を「その場で思いついた最も簡単と思う方法」で教えたところ、すぐに正答出来るようになったので、そのまま正しい方法(学校で習うような方法)や根本的な概念の部分などは教えずに試験に臨ませました(結果は合格でした)。ちなみに小学四年生になってから(今年)、算数検定6級(小学六年生程度)を受験し合格しています。

・なお、当時の息子は本来的には筆算が必要であるような小数の掛け算割り算を計算するのはその時が初めてでしたが、小数の足し算引き算や簡単な掛け算割り算(例えば1÷2＝0.5など)は既に理解している状態でした。

・その時に教えた方法を以下に記します。

小学三年生に小数の掛け算と割り算を瞬時にマスターさせた方法

小数の掛け算

問題：0.9×3.4＝

解き方：
・9×34と計算する。答えは306。
・どこに小数点を付けるか考える。
・答えは「3.4の0.9倍」とイメージすると、0.306では小さすぎるし30.6では大きすぎると分かる。従って3.06が正しいと分かる。
・従って答えは3.06

小数の割り算

注)上記の掛け算の場合と基本的に同じです。二つの例を示します。

問題その一：30.6÷3.6

解き方：
・306÷36と計算する。答えは8.5。←注)冒頭で述べた通り「1÷2＝0.5」は既に理解出来ているので、この部分の計算はすぐにマスター出来る状態です。
・どこに小数点を付けるか考える。
・答えは「30.6を3～4分割した数字」とイメージすると、0.85では小さすぎるし85では大きすぎると分かる。従って8.5が正しいと分かる。
・従って答えは8.5

問題その二：15.12÷5.6

解き方：
・1512÷56と計算する。答えは27。
・どこに小数点を付けるか考える。
・答えは「15.12を5～6分割した数字」とイメージすると、0.27では小さすぎるし27では大きすぎると分かる。従って2.7が正しいと分かる。
・従って答えは2.7

以上です。このように教えたところ基本的に一回でマスターしまして、それ以降はケアレスミスはもちろんありますが基本的に迷うことは無かったと記憶しています。

おわりに(余談です)

算数だけは小さな頃から私が自前でずっと教えているのですが、原則として「方法論」で教えるのは避けて根本的な部分と言うか概念と言うか、そういう部分を先に教えるようにしていました。従って学校で教える流れとは全く異なると思います。

例えば複数桁の掛け算割り算でも筆算から教えるのではなく、数字の積み重ね(掛け算)や取り崩し(割り算)を根本から教えて、それが理解出来てから「それをメモる便利な方法」として筆算の方法を教えるイメージです(二年生の時にやりました)。

分数なら「分数パズル」という玩具で最初はひたすら遊びながら、ついでという感じで約分や通分の概念をパズルを使って教えて、ある程度それを理解させてから通分を用いる足し算や引き算を教えていました(パズル遊びを始めたのが確か二年生の時で計算を教えたのは三年生の時です)。

そのように理解を積み重ねていると、例えば三年生の後半で、分数の中ではけっこう難しいと思われる「繰り上がり繰り下がりのある、帯分数どうしの足し算引き算」も一度だけ教えたら二回目からは一人でスラスラ計算していましたので、今までの教え方はある程度正しかったのかな、と今では思っています。

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そのような意味で、今回取り上げた小数の掛け算割り算の教え方は完全に「方法論」で教えていますので私の中では「ご法度」でした。試験までの時間的な制約より選択した訳なので、試験が終わってから日々の自主勉強の中で改めて根本の部分を教えなおすつもりでした。

しかしながら、それを教えずに先延ばしになっていたところ、日々の自主勉強などを見ていると、どうも息子はその本質部分にも気付いているような気がしました。

確かにそれまでは小さかったので新しいことは全てを私が教えていましたが、もう小学四年生なので、例えば小数以外のことでも教えたこと「以外」の部分も本質的に頭を使う部分が同じ事柄は「勝手に出来るようになっている」ということが増えてきました。今年の算数検定6級の勉強の際には特にそのように感じました。

今回のような「方法論」で教えたものでもその「本質」部分を勝手に理解出来るようになることもあるのだろうと今ではそのように思っています。

なんせ私自身も親から教えられることもなく、いわゆる学習塾にも行かず、そろばんと公文式で方法論的にひたすら「計算する」ことを繰り返しながら本質部分も全て理解してきた訳ですから。

そんな思いもあり、今回取り上げた小数の掛け算割り算に関しては上で述べた方法以外は全く教えずに「様子見」しています。ちなみに今年受験した算数検定6級の勉強の際にも小数の掛け算割り算は出てきましたが、基本的に正答していたのでどのように考えているかは細かく聞きませんでした。

算数検定6級の勉強の際に関することはまた改めて記したいと思います。

「分数の比を簡単にする」問題の考え方を図解で説明します

はじめに

PCで表現するしやすさの都合上、
分数の表現に関して例えば二分の一でしたら
「1／2」と表現しますのでご了承下さい。

「分数の比を簡単にする」問題の考え方

方法論的な解き方(教え方)

問題．　1／3　：　1／4　を最も簡単な整数の比で表しなさい。

という問題で、その解き方を方法論的に教えるのであれば、

「分母を最小公倍数で通分して、通分した後の分子の数字が答え」

という風になると思います。すなわち、

4／12　：　3／12

と通分して、答えは、

4　：　3

となります。

そのことの本質的な意味

上の計算過程と答えの本質的な意味を図解で説明します。

まず、「比」というのは大きさの関係性です。例えば「50：100」ならもっとも簡単な整数の比で表せば「1：2」ですが、これは「右が左の2倍」ということを表しています。

更に例示すると、例えば「60：90」なら「右は左の1.5倍」ですが、「1：1.5」と書いてしまうと小数を用いてしまっていますので、「最も簡単な整数」で表すならば「2：3」と表す訳です。すなわち右は左の「3／2」倍＝1.5倍です。

以上を踏まえ、冒頭で示した、

問題．　1／3　：　1／4　を最も簡単な整数の比で表しなさい。

を図解すると、

円(まん丸)を「1」として考えた場合の、上図のような「1／3」と「1／4」の大きさの比率を表せと問われていますので、

上図のように、両者を比べる為に「同じ大きさのパーツである1／12」に分割し、左はそれが4つ、右は3つなので、大きさの比率は「4：3」と分かります。以上が、

「分母を最小公倍数で通分して、通分した後の分子の数字が答え」

の本質的な意味となります。

おわりに

以上、「分数の比を簡単にする」問題の考え方を図解で説明させて頂きました。

帯分数どうしの足し算・引き算の「繰り上がり、繰り下がり」は何も難しくない、という点を図解で説明します

はじめに

現在小学四年生の息子がまだ三年生だった時に、「繰り上がり、繰り下がりのある帯分数どうしの足し算、引き算」を教えたところ、(もちろん通分や約分など分数の基礎知識はその前に十分に付けていたという前提ですが)その内容を1日でマスターしまして翌日からは(ケアレスミスはもちろんありますが)一人で普通に計算しているのを見て「やるなぁ」なんて思っていたのですが、よくよく考えてみると「繰り上がり、繰り下がりのある普通の(整数の)足し算、引き算」を十分に理解しているのであれば、それが分数に変わったところで大して難しく感じないのは「当たり前」であると気付きました。

もし普通の(整数の)足し算引き算を筆算などの「やり方」(方法論)でマスターしてしまっていた場合は、それを分数に「応用」するのは難しいのかも知れませんが、「本質」から理解出来ているのであれば、それが整数であっても分数であっても本質的には「全く同じ」である訳ですから、先に覚えた整数の知識は分数の際にも「応用」出来るのだ、と気付いた訳です。

と言う訳で、繰り上がり、繰り下がりのある普通の足し算、引き算が本質的にマスター出来ている子供であれば分数のそれも「全く同じ」(なので難しく無い)という部分を今回は図解で記したいと思います。

なお、足し算でも引き算でも本質的には全く同じですが、足し算よりも引き算のほうが以下で記す「両替」が必須になるという意味で説明に向きますので、ここでは「引き算」を例に取って説明致します(足し算の説明は省略します)。また、説明の為に色分けを使用しています。

PCでの表現のし易さのより、ここでは分数の表現に関して例えば二分の一なら
「1／2」という風に表現している箇所がありますのでご了承下さい。

普通の(整数の)繰り下がりのある引き算の説明

「45－17」という例題で説明します。

下図の「45」(10が4つと、1が5つ)から17を引くと残りがいくつになるかを考えます

一の位の「5」から7を引けないので、下図のように「10」を「1を10個」に両替します。

すると下図のように、「10が3つと、1が15個」となります。

そこから下図のように17を引く、すなわち「10を1つと、1を7つ」消せば、残りは「10が2つと、1が8つ」、すなわち「28」と分かります。これが答えです。

それを筆算で書くと以下の通りです(上の図と色が対応しています)。すなわち、筆算というのは上記の概念を「便利にメモする」ツールに過ぎません(と私は考えています)。

また、筆算など知らなくても上記の概念が理解出来ていれば暗算でも計算出来ますし、覚えきれないからとメモする場合であっても例えば、

・45＝30＋15　
・(この前部から10を、後部から7を引けば)
・20＋8＝28

と答えを出すことが出来ます。

これが「整数の繰り下がりのある引き算」の本質です。

帯分数の繰り下がりのある引き算の説明

次に「分数」の場合を説明します。下式を例に説明します。なお、今回の説明は「通分」は無関係なので敢えて分母は揃えた数字としていますが、分母が異なり「通分」がある場合でも今回の説明対象の「繰り下がり」の本質は何も変わりません。

引く前の「四と五分の一」を図で書くと以下の通りです。ここから「一と五分の二」を引きたい訳ですが、「五分の一」より「五分の二」のほうが大きいので引けません。

そこで下図のように両替します。

両替後は「三と五分の六」となります(下図)。

ここから下図のように「一と五分の二」を引く、すなわち「1」を1つと「1／5」を2つ消せば、残りは「1」が2つと「1／5」が4つ、すなわち「二と五分の四」と分かります。これが答えです。

これを分数の計算式で書くと以下の通りです。

これが「帯分数の繰り下がりのある引き算」の本質です。

おわりに(両方とも「本質」は全く同じ)

整数の繰り下がりでも帯分数の繰り下がりでも「下の位に関して引かれる数よりも引く数のほうが大きくて引けないので、上の位を1つ両替してそれを下の位に足しこむ」という部分の「本質」は全く同じであることがご理解頂けたかと思います。

また、今回は説明は省略しましたが「足し算」に関しても全く同様ですので、普通の(整数の)繰り上がり、繰り下がりのある足し算、引き算が十分に理解出来ている人(子供)であれば、帯分数のそれを理解するのは比較的容易いのではないかと個人的にはそのように思っています。

分数の通分、約分の「本質」を図解により説明します

はじめに

PCでの表現のし易さのより、ここでは分数の表現に関して例えば二分の一なら
「1／2」という風に表現致しますのでご了承下さい。

また図解部分で色分けによる表現を使用しています。

分数の通分の本質

分数の足し算、引き算の際に必要となるのが「通分」です。すなわち「分母を揃える」作業ですが、形式的な(方法論的な)覚え方でも計算を行うだけなら問題ありませんが、その先の発展性を考えれば「本質」から理解しておくことが望ましいと考えます(これは通分や分数に限った話ではありませんが)。

その本質的な部分を図解により以下に説明致します。

1／3　＋　1／4　＝

という計算があったとして、その問題自体の意味を図解すると、円(まん丸)を「1」として考えた場合、

上図の両者を足したら全体(まん丸)の「1」に対してどのような大きさになるのか答えよと問われていることになります。

上図のようにそのまま足しても「全体の1／3　＋　1／4です」と答えていることになり、すなわち「だから全体の何分の何なの？」が分からないという意味で何も答えていないことになります。

従って、両者を足す前に「1／3」と「1／4」を「同じパーツ」に分解します。すなわち、

上図のように左の「1／3」を「4／12」(1／12というパーツが4つ)に分解し、また右の「1／4」を「3／12」(1／12というパーツが3つ)に分解する訳です。

そして分解してから両者を足すと、

上図のように答えは「7／12」(1／12というパーツが7つ)と分かります。

以上が、

1／3　＋　1／4　＝　4／12　＋　3／12　＝　7／12

という計算式が表している本質となります。

分数の約分の本質

8／12　を約分せよ

と言われれば分子と分母の最大公約数である4で両者を割り、答えは「2／3」と分かる訳ですが、これの本質を以下に図解します。

「8／12」を図示すると上図の通りです。「約分せよ」という意味は、「一つひとつのパーツ(本例なら1／12)を細かく分け過ぎなので、全体(まん丸)「1」に対する大きさは変わらないまま、パーツの数を最小化せよ」という意味となります。

上図のように「4／12」(＝1／3)ずつ緑、水色、黄色と分割しなおしても、その内の「緑と水色の部分(1／3が2つ分＝2／3)」が元々(8／12)と同じ大きさとなります。これが、

8／12　＝　2／3

という計算式が表している本質となります。

おわりに

以上、通分と約分の本質について図解で解説させて頂きました。

割り算の筆算の「本質部分」を図解により説明します

はじめに

私は教育の(教える側の)プロではありませんが、息子(現在小学四年生)には一年生になる少し前から自宅で算数を独自に教えているのですが、今のところ息子が理解出来ているという意味ではそこそこ上手く行っていると思っています。
2019-10-25追記．息子は現在は小学六年生ですが、数学検定4級(中学校2年程度)に合格しています。追記終わり

筆算などの「やり方」をメインで教える訳ではなく、あくまで「本質」を教えるという部分を強く意識して教えたところ、比較的早い段階から掛け算割り算などの計算では全く困らないという感じで成長してくれています。

今まで教えた内容について、記憶を辿って以下にまとめます。基本的に掛け算と共に割り算も「簡単」ですので、誰かのお役に立てれば幸いに存じます。

なお、図解の説明の部分では色分けを行って説明しています。

九九の範囲の割り算(最も初級だが「概念」を意識してしっかり覚えることが大事)

「割る数」及び「商」のいずれもが1桁の割り算は反対から「掛け算」として見ると「九九の範囲」であり最も単純です。

「掛け算(九九)の反対」として数字を眺めれば簡単に答えは出ます。例えば「15÷5」でしたら「5」に何を掛けたら「15」になるかと考えれば答えはすぐに「3」と分かります。

しかしながら例えば下図のように「15cmのモノを5分割すると1つ3cmとなる」ことを考えるということが文字通り「割り算」の本質でありますし、

また下図のように「15円を5人で分けると1人あたり3円ずつとなる」(分配する)ことを考えるということでもあります。

このような「概念」の部分を最初に強く認識しながら割り算を覚えることが、後々商の桁数が増えた際の理解度に影響してくるという意味で非常に肝要であると私は思っています。

なお、以降の説明は「分配」のほうを用いていますが、これは単に私が説明しやすいのでそうしているだけであり、こちらのほうが他より本質的であるということではありません。ちなみに息子に教えた際も基本的に以下の通り教えました。

商が1桁の割り算

割られる数及び割る数の桁数がどれだけ増えようと「商」が1桁である限りは、図解による説明は変わらないという意味で上で述べた「九九の範囲」の延長と考えています(例えば1575÷175＝9のような計算)。

具体的に言うと頭の中で考える計算は「割る数×1桁の商＝割られる数」(例示で言えば175×9＝1575)を一回だけ考える訳であり原則として筆算も不要(用いても優位性が無いという意味)な計算となります。

従ってこれ以上の(図解による)説明は行いません。

商が2桁の割り算

「1692÷36＝」という問題を例として以下に述べます。すなわち、下図のように1692円を36人に配ったら一人あたり何円になるのかを考えます。

まず、「簡単に配れる額」を考えます。すなわち、「分ける人数×一桁」の後に0か00か000か…を付けるだけで計算できる数(すなわち計算する部分は「分ける人数×一桁」だけ)を考える訳です。

・36人×30円＝1080円　まだ少なそう
・36人×40円＝1440円　まだかな…
・36人×50円＝1800円　あ、超えてしまった

と計算して「総額を超えて良い訳が無いので、まず40円を配ろう」と決める訳です(下図)。

そして40円ずつ配ったら総額がいくら減りいくら残るかを考えます。当たり前ながら36人×40円＝1440円減りますので、残りは1692円－1440円＝252円となります(下図)。

残った252円を36人に配るには、一人当たり7円配れば36人×7円＝252円と分かりますので、それを配れば残りはゼロになり、一人当たりは40円＋7円＝47円と分かります(下図)。

割り算の筆算の本質は以上であり、それを筆算で書けば下図の左であり、また下図の右のように「末尾のゼロ」を省略しようが左のように省略しまいが本質的には何も違いはありません。

また、仮に筆算の書き方など知らなくても、上の本質さえ知っていれば、

・1692－36×40＝252
・252÷36＝7
・40＋7＝47

と求めたい答えは分かります。「筆算」と言うのはこの流れを「便利に記す」為のツールでしかなく、それ以上でもそれ以下でも無いと私は考えています。

更に商の桁数が上がっても…

上の説明では「商が2桁」でしたので配る動作も「2回」だった訳ですが、もうお分かりの通り「商が3桁」になれば配る動作も「3回」に増えるだけであり、更に増えても本質的には全く何も変わりませんし、いわゆる「難度」が上がる訳ではありません。更に言えば、商の中にゼロが含まれていようが、もしくは余りがあろうが、この「本質」さえ理解出来ていれば、迷うことは何も無い訳です。

商が3桁のケースについて図解は省略させて頂き、色分けした筆算のみ以下に記すことに致します。

「商以外」の桁数は割り算のレベルには関係しない

以上の通り「商」の桁数と「配る回数」がシンクロしていますので、上ではその回数がいくら増えようが本質的に難度は変わらないと書きましたが、仮に「商の桁数(配る回数)が多いほうが高レベル」と考えるとしても、それは「商の桁数」のみに依存するのであって、その他の二つ(割られる数と割る数)がどれだけ大きくなろうと、暗算の難しさは上がったとしても「割り算のレベル」は何も変わらないものとなります。

例えば「商が2桁」である限り、その他の数字がどれだけ大きくても本質的には上の図解と何も変わりません。その例示として326370÷3795という計算に関して図解は省略させて頂き、色分けした筆算のみ以下に記すことに致します。

おわりに

以上、まだ息子が小さい時に教えた「割り算の筆算の本質」の部分を記させて頂きました。これを教えて以降、桁数が増えても困ったことは今のところありません。

息子は分数の計算でも今のところ困ったことはありませんし、例えば繰り上がり、繰り下がりのある帯分数どうしの足し算や引き算なども1日でマスター出来ましたが、分数を(方法論ではなくきちんと)理解する為のベースには「割り算の深い理解」が関係しているのかも知れないな、という風にも感じています。