数学ではなく「算数」の文章問題(特殊算など)のことを書くページ

「算数」による特殊算の解き方の解説などを記しています

小学五年生の息子が連立方程式を解けるようになるまでの経緯

はじめに

我が家には一人息子が居まして、現在小学五年生(秋)ですが、例えば中学二年生で習う「連立方程式」なら普通に解けるという感じです(もちろん単純ミスによる間違いはありますが)。それを利用する文章問題でも難易度が並みのものであれば普通に解けます。

塾などには行かずにずっと自宅で学習していて、ずっと私が教えているのですが(ちなみに私は自営(フリーランス)で自宅で仕事をしています)、算数(数学)の勉強を始めてから現在に至るまでの経緯を「ざっくり」とですが記してみたいと思います。

ただし、特に初期の頃に関しては随分前のことになりますので、若干の記憶違いはあるかも知れませんのでご了承下さい。

小学五年生の息子が連立方程式を解けるようになるまでの経緯

幼少期(どんな子供だったか)

「勝手に数学の本を手にとって読み始めた」的なエピソードは一切なく、いたって「普通の子供」だったと思います。

小学校に上がる前の頃(幼稚園の年長組の頃)

「1+2=3」みたいな簡単な足し算は、定期購読していた(現在もしています)ベネッセの教材で学習していたように記憶しています(曖昧な記憶です)。

それよりも先取りの学習として「繰り上がりのある足し算」「繰り下がりのある引き算」の学習もしていたと思います。使用の仕方とか効果のほどはあまり記憶に残っていませんが、いわゆる「100玉そろばん」を使っていたと記憶しています。

私が自作で作成した、1枚10分程度で終わるプリントを、毎日1枚やっていました。ちなみにこの頃のプリントは、余白の部分に息子の好きなキャラクターの画像を貼り込んだもので、そのキャラクターの頭文字+プリントという意味で「○○プリ」と我が家では呼ぶようになりました。

小学一年生の頃

年長組~一年生にかけて、非常に役立ったのは「人生ゲーム」だと思います。お金の計算において、「繰り上がりのある足し算」「繰り下がりのある引き算」の訓練が楽しく継続的に出来たと記憶しています。私と息子の二人で毎日のようにやっていました(息子が成長してしまって「訓練」の目的が無くなっても、四年生の頃まではよくやっていましたが)。

同時期に九九の暗記なども済ませていたと思います。また掛け算の他、割り算も普通に学習していました。先に述べた「○○プリ」を1日1枚継続してやっていました。

他にも色々やっていたのでしょうが記憶が残っていないので次に進みます。

小学二年生の頃

残っていた自作のプリントのデータファイルで確認すると、二年生の前半で「2桁以上×2桁以上の掛け算」「2桁以上÷2桁以上の割り算」は完了していたようです。その他、普通の(真分数どうしの)「分数の足し算」「分数の引き算」もこの頃には済ませていたようです。

分数に関しては、「分数パズル(くもん出版)」を使って、勝手に独自のルールを作って遊びながら、通分や約分の「意味」を日々説明していたことをよく覚えています。また、自作のプリントでも分数を「実際の形」と関連付けて理解出来るようなプリントを作ってやっていました。それを踏まえてからの「算数での計算」だったからか、通分も約分も比較的スムーズにこなしていたと記憶しています。

また、文章問題や図形の問題も始めて、二年生の後半には簡単な特殊算(植木算など)もやっていました。虫食い算などもやっていました。

「遊び」以外のいわゆる勉強は、全て日々の「○○プリ」でやっていましたが、この頃には1枚「10分程度」という訳にはいかず、15~30分程度で1枚をやっていたと記憶しています。この頃には問題は自作だけでなく「受験研究社」などから出ている(本屋さんで売っている)問題集も使用していましたが、必ず息子の好きなキャラクターを余白に追加して「○○プリ」としていました。

なお、この頃に「公文教室」に一年ほど通わせたことがあったのですが、息子には向いていないように思いましたのでやめさせました。いわゆる「塾」に通った経験は今までのところこれだけです。

小学三年生の頃

2桁以上の(凄く大きな桁も含めて)足し算や引き算、掛け算、割り算などは完全に理解出来ていると言いながらも繰り返し訓練することも必要かと思い継続的に続けていましたが、三年生の始めの頃には「もうマスターしたと考えて良いだろう」と思って、いわゆる「計算問題」は三年生の最初の頃から徐々に減っていったと記憶しています。

分数に関しては、三年生の最初の頃に帯分数の繰り上がりのある足し算、繰り下がりのある引き算をやらせてみたところ、すぐにマスターしてやっていたので「分数に関しては、概念の部分からしっかりと理解出来ているのだろう」と確信したように記憶しています。その後に掛け算、割り算もやりましたが難しく感じるところは無かったようです。

どんなタイミングでやったのかは覚えていませんが、この頃には「四則演算」なども普通にマスターしていました。

自作のプリントから徐々に「受験研究社」などから出ている問題集(一年先取りの四年生用)がメインとなるようになりました。いつの頃だったか、「余白の好きなキャラクター」はもう無くても良いという話になりました。

そのような「比較的難しい問題」で文章問題や図形の問題、虫食い算的な問題などを解くことがメインになりました。日々の勉強は30分程度はやっていたと記憶しています。

なお、三年生の秋ごろに「算数検定7級(小学校5年程度)」を初めて受験しまして合格しました。五年生向けなので新たに学ぶ必要のある項目ももちろんあったのですが、基本的な思考力としてはそれまでの「日々の勉強」で事足りていた感じでした。

ただし、それまでには毎日算数の勉強を頑張っていると言っても何かの称号がある訳でもなく、親の私が「よく出来るようになっている」と言ったところで客観性はありません。そういう意味で客観性のある「結果」を息子に持たせてあげたいなと思っていましたので、「絶対合格させる」という感じで一ヶ月ほどの期間ですが検定の為だけの勉強を熱心にさせたと記憶しています。

小学四年生の前半

四年生の最初の頃に「比」「割合」を学習しましたが、分数が深く理解出来ていたからだと思いますが、思っていたよりもスムーズに習得していました。

この頃に「速度」なども習得し、小学校でやる算数は概ね終わった感じでした。

五年生用の「受験研究社」などから出ている問題集をやったりしていましたが、やはりかなり難度が高くなっていたので、六年生向けだがもっと基本的な問題集(学研などから出ているもの)で基本を勉強したり(ちなみに五年生向けだが前者のほうが六年生向けの後者よりもはるかに難しいです)、その時の習得の状況に応じて色々と混ぜて勉強させていました。

そして四年生の秋ごろに「算数検定6級(小学校6年程度)」を受験して合格しました。この時は私自身が前回(7級)の時のように「絶対に合格させたい(何がしかの称号を持たせてあげたい)」的な想いは強くありませんでしたので、一ヶ月ほどの期間は検定用の勉強としながらも「猛勉強させた」という感じではなく私自身も気負わず、また出来るだけ息子の自主性に任せてやらせていたのですが、最後の一週間は息子が自ら「部活は全て休んで勉強に充てたい」と言いだして、実際に部活は休んで1日何時間も勉強していました。

この時に初見の問題(例えば分数どうしを簡単な比に直す)も含めて何も教えなくても出来るものが大半であることを見て、「もう小学校の算数は大丈夫なのだろう」と思いましたし、実際に検定も満点に近い点数(ようはケアレスミスが少しあっただけ)で合格していました。

そんな理解度であっても、それでも「受験研究社」などから出ている問題集(ようは中学受験用の難しい問題)は手こずる問題が多い訳ですから、私はたまたまそういう問題が苦手ではありませんが、息子にもそれを絶対にマスターさせるべきなのかと言えば、そうとは思えませんでしたので(中学受験も考えておらず、それまでも単に「思考する為の教材」として用いていただけ)、息子自身にそのような「難しい算数」を極めるのと、「中学数学」に進むのとどちらが良いのか聞いてみました。

すると息子は「中学数学に進みたい」との返答だったので、そちらに進むことにした次第です。

なお、四年生の間は部活が忙しくなり算数の勉強を「毎日」するのは難しい状況だったので、週に3~4日を、1日あたり45分程度やる感じとなっていました。

小学四年生の後半

今までに述べた「算数」の勉強に関しては、学校で習う順番とかは全く無関係に、私が思いついたままに教えていきましたが、中学数学からは、何となく(はっきりした理由は無い)ですが、市販の参考書(兼問題集)を使って順番通りに教えていき、繰り返し演習したほうが良いと思う部分のみ自作でプリントを追加して習得させるスタイルとしました。

たぶん「算数」に関して表面的にではなく深い部分まで理解出来ている子供ならウチの息子だけでなくみんな同じなのだろうと思うのですが、中学数学になって初めて出てくる「マイナス(負の数)」とか「文字の式(xなどを用いた式)」とか「移項」などを難しく感じている様子はあまりありませんでした。

最初は「やさしい」を売り文句にしている参考書(兼問題集)を使用していたのですが、あまりに物足りない(息子がうーん、と悩んで考えるようなことがほとんど無い)ので途中で使用するのをやめて、応用問題もしっかり載っている参考書(兼問題集)に切り替えました。

例えば「移項」なら「符号が変わって移る」みたいにやり方だけ丸覚えするのではなく、両辺にこれを足したり引いたりするからその結果として「符合が変わって移る”ように見える”」みたいな部分は留意して教えましたが、そういう部分を理解しながら応用問題や私が追加する問題もやっていても、中学一年の数学は半年ほどで終わりました。

そして四年生が終わってすぐ(五年生の春)に数学検定5級(中学校1年程度)を受験しましたが、難なく合格しました。前回(6級)より更に肩の力を抜き、部活も全く休まず行ってましたが、それでもほぼ満点で合格していました。

小学五年生の前半(現在まで)

最初の頃は中一の数学のおさらいなどをやってから、中二の数学に入りました。

現在は道半ばという感じでして、例えば連立方程式なら意味は十分に理解出来ており、小数や分数が生じないものだとほとんど間違いも無いのですが、小数や分数が出てくると途中の計算過程でケアレスミス(小数とか分数とは無関係な、例えば符号の間違いなど)をしてしまう頻度が結構高いという感じです。

現在新たに学んでいるものはグラフ(一次関数)ですが、やりはじめから大体は分かっていてそのレベルでも例えば普通の中学校での授業でやる範囲なら困らないのかも知れませんが、「変化の割合」と「切片」の意味が心底から理解出来ているかと言えばまだまだであり(従って難度の高めの応用問題だと迷って間違える)、それを出来るだけ深く理解して欲しいなと思い試行錯誤しているところです。

そもそも、まだ小学五年生であることを考えれば、連立方程式の意味が十分に理解出来ている(文章問題もそれを利用して解ける)だけでも「大したもの」 なのだろうと思いますし、勉強ですから楽しいばかりという訳にはいなかいながらも「苦痛」になってしまっては意味がないと思うので、「苦手」を潰すために「苦手」なことを毎日毎日延々と長期間やり続けるというような事態に陥らないように心掛け、多少の「苦手」は残ったとしても次に進むようにしています。また、そのような心掛けも必要になったということを踏まえて今から考えてみると、「中二の内容というのは、中一と比べると、結構難しいのかも知れないな」と改めて思っています。

息子本人の目標は小学五年生が終わった段階(六年生の春)で「数学検定4級(中学校2年程度)に合格する」ということなので、それまでに全ての「苦手」を解消することを目標としています。

教える側として心掛けていること

「算数」の時も「数学」の時も共通して以下を心掛けています。

公式ややり方を「丸覚え」させない

算数、数学が得意になって欲しいのは、学校での勉強や、もしくは将来の受験の際に困って欲しくないな、というような思いももちろんあるのですが、もっと大きな目的としては「社会に出たときに、実践の場で使えるような算数力、数学力を身に付けて欲しい」というものです(これが使えない社会人というのは相当多いというのが個人的な印象です)。

従って例えば繰り上がりのある足し算、繰り下がりのある引き算ならその「意味」から教えて、最初の内は筆算なしで「意味」から答えを出すように日々を過ごして、それが十分に理解出来てから「その計算過程を便利にメモする為のツールでしかない」ものとして筆算を教えていました(当ブログのコチラのページの前半で書いているような内容です)。

例えば分数でしたら先にも書きましたが「分数パズル(くもん出版)」などを使って通分や約分の本質的な意味(当ブログのコチラのページの内容)を十分に理解させてから、「やり方」としての通分や約分を教えていた訳です。

今では息子も「速度算」に関して相当に難しい問題でも解けますが、いまだに「速度の公式」というものは一度も教えたことはなく、教えたものはその「意味」だけです(当ブログのコチラのページの内容)。何と何をかけるのか、もしくは何を何で割るのかを考えるのには「意味」から考えれば良いのであって、公式を覚えていないことで困ったり余分に時間がかかることは一切ありません(私も設計の仕事で日々速度を扱いますが、公式を頭に思い浮かべることなどまずありません)。

数学に関してはまだ道半ばなので、これからどのように息子が成長するかは分かりませんが、最低でも算数に限って言えば、例えば「速度」「比」「割合」などはやり方や公式の丸覚えなのか、もしくは意味から深く理解しているのかで、実社会での「応用力」に雲泥の差があることは理解されている方ならお分かりになる話と思いますが、そのような理解の深さは(私が今までに見てきた)平均的な社会人以上に息子は深く理解出来ていると思います(その意味で私が息子に身に付けて欲しいと思っていたものの内の半分以上は既に達成出来たと思っています)。

なお、小学五年生の現段階だとどうしても「公式の丸覚え」となってしまう項目も少しはあります。すぐに思いつくものは「円の面積」「球の体積」などです。

「遊び」も絡めて楽しく

現在は息子も小学五年生になったので減ってきたのですが、小さな頃は「遊び」と絡めて算数を習得してもらうことを心掛けていました。

先にも書いた「人生ゲーム」で繰り上がりのある足し算や繰り下がりのある引き算を訓練したり(おまけに「借金」があるお陰でマイナス(負の数)も学べます)、「分数パズル」で通分や約分の意味を学ぶのも、勝手にルールを作った「遊び」を繰り返していたものです。

他にも「カルコロ」というゲームを繰り返しすることで「数の合成、分解」を深く理解したり、マイナス(負の数)の概念も勝手に身に付いていました。

そのような「遊び」は、他のお子さんがどうかは分かりませんが我が家の息子の場合は特に小さな頃は何回でも、何時間でもやりたいという感じでしたので、可能な限り付き合うようにしていました。ちなみに私はゲームでも将棋でも何でも「手抜き」は基本的にしないので、「カルコロ」というゲームでも当初は私が勝ってばっかりで息子は悔しがりながら「もう一回!」と言っていたものですが、息子が三年生の頃には私が負けるようになり、四年生の頃には全く勝てなくなりました。

現在はそのような遊びも減ってしまいましたが(息子自身が部活とか友達との遊びに忙しく、そもそも私と遊ぶ時間が大きく減っている)、最近は「論理パズル」の本を寝る前に一緒に読もうと言ってきます。ようは私よりも息子のほうが早く解けることが多いので、それを自慢したいようですが、そういうものでも今後の数学の勉強には何がしかの役に立つのだろうと思っています。

「パズル」などの「短時間」を日々の習慣に

これまで述べてきた日々の「算数(数学)の勉強」とは別に、主に図形を題材にしたパズルなどの市販のプリントを1日1ページずつずっと続けています。すんなり解ければ5分程度で終わる簡単なものを選んでおり、かつ「勉強とは少し違うので、分からない場合も5分で終われば良い」と話しています。

二年生の頃から始めたと記憶しているのですが、今では完全に習慣となっています。これで自然と身に付いた図形(平面図形や立体)に対する感覚も、算数の勉強の際に非常に役立った(今でも役立っている)と感じています。

このような内容に関して、時間的に「ちょっとしたこと」なので嫌がったり気負ったりせず「当たり前のこと」として日々やるような「習慣」となっていることは、非常に良かったと今では思っています。

算数関連の他にも、国語のプリント(こちらはパズル等ではなく普通に勉強のプリント)も1日5分で終わるような感じで続けています。

なお、これらに関しては最初に題材を選んで買ってくるのは私ですが、後はやらせっぱなし(丸付けも本人がやるか、もしくは妻に任せている)であり私が見ることはほとんどありません。「私が全く見ないもの」もあったほうが良いだろうと意識的にそのようにしています。

実生活との紐付けも大切

息子がまだ割合とか百分率の勉強をしていなかった頃に、「部活のシュート練習で、8本の内6本決まったけど、これって何パーセント?」というようなことを聞いてきたことがありました。

全体が100%で、その一部を○%と表記することは、テレビゲームの主人公の体力が○%みたいなものを見ていて知っていたのだろうと思います(100%から減っていくので分かりやすい)。

それで予定はしていませんでしたが日々の勉強は割合、百分率に切り替えたのでした。

他にもクルマで出掛けている際に、目的地まであと何キロくらいでクルマのスピードは時速何キロだったらどれくらい時間がかかるとか、そういう実生活で生じる疑問等を「算数」に結び付けて習得することは非常に大切なことであると考えていた次第です。

おわりに

そんな訳で、息子が小学校に上がる少し前の頃から現在(五年生の秋)までに算数、数学を習得してきた経緯を「ざっくり」と記してみました。

小さな頃と比べると、「手取り足取り」教えるという感じでは徐々に無くなってきてはいるのですが、それでもまだ小学五年生なので、まだまだ「手取り足取り」教えてはいる訳ですが、小学六年生の終わりまでに「中三の数学」までは教え終わって、その後は息子も独り立ちして数学の勉強を続けて欲しいな、なんて思っています。