【算数】速度の文章問題の解き方の解説(3) 通過算を詳しく解説します

はじめに

※本記事は2020年04月20日に、一から全て書き直しています。

※以下、速度の公式や、その計算などは深く理解出来ている前提となっています。まずはそこからお知りになりたい場合は、本ブログの別記事に詳しく記していますので、コチラをご参照下さい。

算数や数学の文章題として登場する「通過算」に関して、ここでは基本的なことを詳しく解説致します。

「通過算」の内容を平たく書くと、主に列車が橋やトンネルなどを通過するようなシーンを扱う文章題となります。「どれだけの距離を列車が進むのか」を把握するのが要点となります。それさえ把握出来れば、残りは通常の速度算と同様の計算となります。

以下、パターンごとに説明を進めます。なお、文中の「例題」は全て私の自作問題となっています。

「点」を通過するパターン

電柱や人など、(現実には太さがありますが)太さの無い「点」の前を列車が通過するパターンです。一般的な問題文では「通過する」という表現の他、「通り過ぎる」などもあると思います。

以下、例題を解く形で説明します。

例題：長さが60mで速さが毎秒20mの列車が、電柱の前を通過するのに何秒かかりますか。

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例題の状況を絵で書くと下図の通りです。

列車は左から右に進むものとして、実線の位置で電柱に差し掛かった列車が、破線の位置まで進むのに必要な時間を考えることになります。なお、図の見方は次以降のパターンも全て同じです。

図より明らかに、列車が進む距離は列車自身の長さである60mです。図中の「進む距離60m」は列車の先端に着目して書いています(後端に着目しても同じ60m)。

従って所要時間は、

距離÷速さ＝60m÷毎秒20m＝3秒　…答え

以上のように、「進む距離」を把握する部分がこの「通過算」の要点であり、それは次以降のパターンも全て同様となります。

長さのある橋などを通過するパターン

橋の他にも、トンネルその他を問わず、「長さのある区間」を通過するパターンとなります。一般的な問題文では、「通過する」という表現の他に、「橋を渡り始めてから渡り終わるまで」などの表現もあります。

例題：長さが60mで速さが毎秒20mの列車が、100mの橋を通過するには何秒かかりますか。

※　※　※　※　※

例題の状況を絵で書くと下図の通りです。

列車の先端でも後端でもどちらでも良いですが、例えば先端に着目すると、進む距離は、

橋の長さ100m＋列車自身の長さ60m＝160m

と分かります。

従って所要時間は、

距離÷速さ＝160m÷毎秒20m＝8秒　…答え

トンネルの中に隠れているパターン

主にトンネルの中に完全に入ってから出始めるまでの、外からは全く見えない時間を算出するパターンとなります。もちろん問題文の文意が同じであれば、トンネル以外の橋やその他であっても全く同じ考えとなります。

例題：長さが60mで速さが毎秒20mの列車が、200mのトンネルに完全に入ってから、トンネルから出始めるまでの時間は何秒ですか。

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例題の状況を絵で書くと下図の通りです。

先ほどのパターンと同様に、列車の先端に着目すると、列車が進む距離は、

トンネルの長さ200m－列車自身の長さ60m＝140m

と分かります。

従って所要時間は、

距離÷速さ＝140m÷毎秒20m＝7秒　…答え

列車どうしがすれ違うパターン

2つの列車の双方が動くので、少し難しいパターンとなります。

例題：長さが60mで速さが毎秒20mの列車Aと、長さが90mで速さが毎秒10mの列車Bがすれ違うには何秒かかりますか。

※　※　※　※　※

下図の上段が、左側の赤い列車が列車Aで左から右に進み、右側の青い列車が列車Bで右から左に進むものとして、すれ違いが始まる瞬間を表したものです。

列車B(青)から見た列車A(赤)の相対速度は、
毎秒20m＋毎秒10m＝毎秒30m　…①
ですから、

上図の下段のように、列車B(青)は停止しているものとして、その代わりに列車A(赤)の速さを①の毎秒30mで考え直しても、同じ所要時間が得られることになります。

このように考えると、すれ違いが終わるまでには、上図の下段を見ると明らかですが、停止している列車B(青)に対して列車A(赤)が、

列車Bの長さ90m＋列車Aの長さ60m＝150m

進めば良いと分かるので、その所要時間は、

距離÷速さ＝150m÷毎秒30m＝5秒　…答え

と分かります。

速い列車が遅い列車を追い越すパターン

上記と同様の考え方となります。

例題：長さが60mで速さが毎秒20mの列車Aが、長さが90mで速さが毎秒10mの列車Bを追い越すには何秒かかりますか。

※　※　※　※　※

下図の上段が、左側の赤い列車が列車Aで左から右に進み、右側の青い列車が列車Bで同じく左から右に進むものとして、追い越しが始まる瞬間を表したものです。

列車B(青)から見た列車A(赤)の相対速度は、
毎秒20m－毎秒10m＝毎秒10m　…①
ですから、

上図の下段のように、列車B(青)は停止しているものとして、その代わりに列車A(赤)の速さを①の毎秒10mで考え直しても、同じ所要時間が得られることになります。

このように考えると、追い越しが終わるまでには、上図の下段を見ると明らかですが、停止している列車B(青)に対して列車A(赤)が、

列車Bの長さ90m＋列車Aの長さ60m＝150m

進めば良いと分かるので、その所要時間は、

距離÷速さ＝150m÷毎秒10m＝15秒　…答え

と分かります。

おわりに

以上、「通過算」に関する基本的な部分について詳しく解説しました。

応用的な問題の解き方の事例をご参照になりたい方は、当ブログの別の記事に記していますので、コチラをご覧下さい。