数学ではなく「算数」の適度に難しい文章問題を集めてみた

質問サイトの過去ログ等で見つけた特殊算の文章問題を引用し解いていくページです

【算数】速度の文章問題の解き方の解説(1) 基本事項の解説(速度の公式の本質的な意味)

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

今回を第1回として、何回かに分けて速度の文章問題に関する解説を記します(「速度の文章問題の解き方の解説」というカテゴリーとなります)。

旅人算」とか「通過算」など色んなパターンの特殊算がありますが、今回は1回目ということで、いわゆる基本事項とその本質的な意味を述べたいと思います。

なお、算数の領域では「速度」ではなく「速さ」と言うのかも知れませんが(詳しくは分かりません)、普段は使わない言葉なので、普段から使用している「速度」という文言を使用しています。

速度の公式

私は速度に関して「公式を覚えた」という感覚はありません(子供の頃から現在においてもずっと「公式に当てはめる」という感覚がありません)。

その辺りのことを公式と絡めて記したいと思います。

距離÷時間=速度

速度というのは単位あたりの時間でどれだけの距離を進んだかを表すものですから、例えば3時間で距離120kmを進んだ場合は、1時間あたり120km÷3=40km進んでいますので、これを公式に当てはめた形で記すと、

距離÷時間=速度
120km÷3時間=時速40km

となります。

時速の単位を「km/時」と表現し

120km÷3時間=40km/時

と記したほうが分数として「分子に距離があり、分母が単位あたりの1時間となっている」と分かりやすいようにも思います。

速度×時間=距離

上では進んだ距離と所要時間が与えられ速度を算出しましたが、例えば速度と時間が与えられ、進んだ距離を算出する場合、例えば時速40kmで3時間進んだ場合の距離を算出する場合は、上と同様にイメージで「1時間あたりに40km進む速度で3時間進むのだから」と考えれば40km×3=120kmと分かりますが、これを公式に当てはめた形で記すと、

速度×時間=距離
時速40km×3時間=120km

となります。

これも時速の単位を「km/時」で表現すると

40km/時 × 3時間 = 120km

となり、40km/時の分母に居る「時」(時間)と後から掛けている3時間の「時間」が約分されて答えには「km」だけ残る様がイメージしやすいようにも思います。

距離÷速度=時間

こちらも全く同様の内容になりますが、例えば距離120kmを時速40kmで進むと何時間かかりますか?と問われた際には、イメージで「1時間で40km進むことを3回繰り返せば良い」すなわち120km÷40km=3回=3時間と分かりますが、これを公式に当てはめた形で記すと、

距離÷速度=時間
120km÷時速40km=3時間

となります。

時速の単位を「km/時」でイメージする場合、こちらは今までの分より少し難しくなり、すなわち分数の割り算となりますので、「ひっくり返して掛ける」ことになり、

120km ÷ 40km/時
=120km × 時/40km
=3時間

という形で前の「km」と後ろの「分母のkm」が約分されて無くなり、後ろの分子の「時」だけが残る格好となります。

数量として理解する

上で述べたイメージを線分図で可視化して補足説明します。

1番目で述べた

距離÷時間=速度
120km÷3時間=時速40km

なら、□1つを10kmとして考えると

□□□□□□□□□□□□

上の距離(□12個分)を3時間で進んだ訳ですから、

□□□□+□□□□+□□□□

という風に3等分すると□□□□が1時間分と分かり、すなわち時速40km(1時間で40km進む速さ)と分かります。

これが公式による計算の本質的な意味となります。

2番目で述べた

速度×時間=距離
時速40km×3時間=120km

なら、同様に□1つを10kmとして考えると

時速40kmは

1時間で
□□□□
進む訳ですから、

3時間進むと

□□□□+□□□□+□□□□

となって120km(□が12個分)となります。これが公式による計算の本質的な意味となります。

3番目に述べた

距離÷速度=時間
120km÷時速40km=3時間

なら、同様に□1つを10kmとして考えると

□□□□□□□□□□□□

上の距離(□12個分)を、

1時間あたり
□□□□

の速さで進むと、

□□□□+□□□□+□□□□

と3回繰り返す必要があるので所要時間は3時間だと分かる訳です。これが公式による計算の本質的な意味となります。

おわりに

特殊算も難しいものになると、速度や距離などが値としては出てこないものなど色んな複雑なものがあり、「公式を当てはめる」とか「パターンで覚える」みたいなやり方では到底太刀打ち出来ないようなものが多々あると感じています。

逆に、今回述べたような本質的な部分が理解出来ていてイメージさえ出来れば、相当難しいものでも考えれば何とかなるものが多いという印象です。

そんな訳で、次回(2回目)以降は具体的な特殊算について解説していきたいと思います。