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【算数】食塩水の文章問題の解き方の解説(2) 濃度比と質量比の関係を使って解く問題

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

食塩水の文章問題に関して何度かに分けて記す内の、今回は2回目となります(第1回はコチラ)。今回は濃度比と質量比の関係を使って解く問題に関して記します。この関係を知らなくても自力で解けるケースも少なくありませんが、使って解くほうが圧倒的に労力が少ないケースも多いです。

最初に基本式

濃度 = 食塩の量 ÷ (食塩の量+水の量)
   = 食塩の量 ÷ 食塩水の量

基本式について、更に詳しく(深く)お知りになりたい方は、本ブログの別ページに記していますので、コチラをご覧下さい。

濃度比と質量比の関係の説明

例えば3%の食塩水200g(これをAと称します)と、8%の食塩水300g(これをBと称します)を混ぜたケースで説明を進めます。

3%の食塩水200g(A)
・食塩の量…200g×0.03=6g
・食塩水の量…200g

8%の食塩水300g(B)
・食塩の量…300g×0.08=24g
・食塩水の量…300g

AとBを混ぜたもの
・食塩の量…6g+24g=30g
・食塩水の量…200g+300g=500g
・濃度=30g÷500g=0.06=6%

以上の通り、混ぜると6%となります。上の流れの中の「食塩の量」に着目して面積図を書くと(横が質量(g)、縦が濃度(%))、

f:id:t-kazu-t:20171203233429j:plain

上図の通り、6gと24gの食塩の量が面積で表せまして、これらを合わせた全体の濃度を算出するということは、

f:id:t-kazu-t:20171203234237j:plain

最初にあった黒の2つの長方形の面積を足して(6g+24g)、それを横幅全体(200g+300g)で割ると、6%という「高さ」が算出されます。すなわち混ぜ合わせた濃度を算出するという行為は、この面積図の赤の長方形の高さを算出しているのと同じです。

最初にあった黒の2つの長方形の面積の合計と、赤の長方形の面積が等しいことに着目すると、

f:id:t-kazu-t:20171204000351j:plain

緑で着色している、面積aと面積bは等しいと分かります。

混ぜ合わせた後の濃度6%に対する差はぞれぞれ3%と2%で、この比は3:2ですが、これは質量比200g:300g=2:3の逆比となっており、これは面積aと面積bが等しい訳ですから、必ず成り立つ関係となります。

すなわち、どのような濃度と質量の組み合わせであっても、2つの食塩水を混ぜると、

混ぜた後の濃度に対する濃度差の比と、質量比は逆比の関係になっている

ことが必ず成り立ちます。この結論がここで説明したかった内容となります。

以下、この関係を使って比較的難度の高い(この関係を使わなければ解くのが難しい)文章問題の実例を解いていきます。

例題と解答(解説)

問題

4%の食塩水と8%の食塩水を混ぜて5%の食塩水を1000g作りたい。それぞれ何gずつ混ぜればよいか。

数学について質問です。食塩水問題。 - Q1 4%の食塩水と8%の食塩水を... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・出来上がり5%に対する濃度差
 4%の食塩水…5-4=1
 8%の食塩水…8-5=3

・従って質量比は上記の逆比なので
 4%の食塩水:8%の食塩水=3:1

・以上により
 4%の食塩水…1000g×3/4=750g (答え)
 8%の食塩水…1000g×1/4=250g (答え)

問題

5%の食塩水が500gあります。
これに12%の食塩水を加えたところ、
10%の食塩水になりました。
12%の食塩水を何g加えたのでしょう

誰かこの問題教えて下さいm(_ _)m5%の食塩水が500gあります。これに12%の... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・出来上がり10%に対する濃度差
 5%の食塩水…10-5=5
 12%の食塩水…12-10=2

・従って質量比は上記の逆比なので
 5%の食塩水:12%の食塩水=2:5

・5%の食塩水は500gなので、12%の食塩水の量は
 500g×5/2=1250g (答え)

問題

水100gに食塩5gを入れ、それに8%の食塩水を加えたら6%の食塩水ができました。
6%の食塩水は何gですか?

中学の方程式 食塩水問題で教えてください。水100gに食塩5gを入れ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・水100gに食塩5gを入れたもの
 濃度…5g÷(5g+100g)=1/21=100/21 %
 食塩水の量…5g+100g=105g

・出来上がり6%に対する濃度差
 100/21 %の食塩水…6-100/21=26/21
 8%の食塩水…8-6=2

・従って質量比は上記の逆比なので
 100/21 %の食塩水:8%の食塩水
 =2:26/21
 =21:13

・100/21 %の食塩水が105gなので、出来上がりの量は
 105g×(21+13)/21=170g (答え)

問題

80gの水に2パーセントの食塩水と5パーセントの食塩水を混ぜ、4%の食塩水を500gつくりたい、

2パーセントの食塩水を何gまぜるべきか

数学80gの水に2パーセントの食塩水と5パーセントの食塩水を混ぜ、4%の食塩... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・出来上がりの4%の食塩水500gに含まれる食塩の量は
 500g×0.04=20g

・そこから混ぜた真水80gを抜くと
 濃度…20g÷(500g-80g)=1/21=100/21 %
 食塩水の量…500g-80g=420g

・2%の食塩水と5%の食塩水を混ぜて上記食塩水を作れば良い。

・出来上がり100/21 %に対する濃度差
 2%の食塩水…100/21-2=58/21
 5%の食塩水…5-100/21=5/21

・従って質量比は上記の逆比なので
 2%の食塩水:5%の食塩水=5:58

・合わせて420gなので、2%の食塩水の量は
 420g×5/(5+58)=100/3 g (答え)

問題

①濃度のわからない食塩水が200gある。ここに10%の食塩水を300g混ぜたら8%の食塩水ができた。はじめにあった食塩水の濃度は何%だったか。

濃度の問題です。①濃度のわからない食塩水が200gある。ここに10%の食塩... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・2つの食塩水の質量比
 □%の食塩水:10%の食塩水=200g:300g=2:3

・出来上がり8%に対する濃度差は上記の逆比
 □%の食塩水:10%の食塩水=差3:差2

・10%-8%=2%なので、上記の比の「2」が2%なので、「3」は3%であることから
 □=8%-3%=5% (答え)

おまけ(別の解法でも解くことは可能です)

今回解説した濃度比と質量比の関係を知らなくても、今回挙げた例題程度なら、基本知識(第1回記事で解説したような基本)のみでも答えにたどり着けます。

上の例題の1つ目と2つ目を例として別の解き方を記します。

問題

4%の食塩水と8%の食塩水を混ぜて5%の食塩水を1000g作りたい。それぞれ何gずつ混ぜればよいか。

数学について質問です。食塩水問題。 - Q1 4%の食塩水と8%の食塩水を... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

鶴亀算で解いてみます。

・出来上がりの5%の食塩水1000gに含まれる食塩の量は
 1000g×0.05=50g

・仮に1000g全てが8%だったと仮定すると、食塩の量は
 1000g×0.08=80g

・実際より80g-50g=30g多い。

・上の仮定から1gずつ8%→4%に入れ替えると、食塩の量は
 0.08g-0.04g=0.04g
 ずつ減少する。

・従って
 多い分30g÷0.04g=750g
 を8%→4%に入れ替えれば良いと分かる。

・入れ替えた後に残る8%は
 1000g-750g=250g

・答え
 4%の食塩水が750g
 8%の食塩水が250g

問題

5%の食塩水が500gあります。
これに12%の食塩水を加えたところ、
10%の食塩水になりました。
12%の食塩水を何g加えたのでしょう

誰かこの問題教えて下さいm(_ _)m5%の食塩水が500gあります。これに12%の... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

鶴亀算の応用で解いてみます。

・5%の食塩水500gには
 食塩…500g×0.05=25g
 水…500g×0.95=475g
 が入っている。

・これを10個のビーカーに、以下の通り仕分けする。
 食塩…1個(25g)
 水…9個(1個あたり475/9 g)

・ビーカー1個あたり、水のほうが
 475/9-25=250/9 g …①
 多い

・このビーカーの中身の量が等しくなれば濃度は10%

・12%の食塩水1g(食塩0.12g、水0.88g)を同様に仕分けすると
 食塩…1個(0.12g)
 水…9個(1個あたり0.88/9 g)
 1個あたり食塩のほうが
 0.12-0.88/9=0.2/9 g …②
 多い

・従って最初に5%の食塩水を仕分けしたビーカーに、12%の食塩水を同じように仕分けしながら
 ① ÷ ②
 =250/9 ÷ 0.2/9
 =250/9 × 9/0.2
 =1250g
 足せば、10個のビーカーは同じ量となり、濃度は10%となる。

・答え 1250g

おわりに

以上、食塩水の濃度比と質量比の関係について記しました。