数学ではなく「算数」の適度に難しい文章問題を集めてみた

質問サイトの過去ログ等で見つけた特殊算の文章問題を引用し解いていくページです

【算数】食塩水の文章問題の解き方の解説(2) 濃度比と質量比の関係を使って解く問題

はじめに

私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。

食塩水の文章問題に関して何度かに分けて記す内の、今回は2回目となります(第1回はコチラ)。今回は濃度比と質量比の関係を使って解く問題に関して記します。この関係を知らなくても自力で解けるケースも少なくありませんが、使って解くほうが圧倒的に労力が少ないケースも多いです。

最初に基本式

濃度(%) = 食塩の量 ÷ (食塩の量+水の量)
     = 食塩の量 ÷ 食塩水の量

※解説や意味は第1回をご参照下さい。

濃度比と質量比の関係の説明

例えば3%の食塩水200g(これをAと称します)と、8%の食塩水300g(これをBと称します)を混ぜたケースで説明を進めます。

3%の食塩水200g(A)
・食塩の量…200g×0.03=6g
・食塩水の量…200g

8%の食塩水300g(B)
・食塩の量…300g×0.08=24g
・食塩水の量…300g

AとBを混ぜたもの
・食塩の量…6g+24g=30g
・食塩水の量…200g+300g=500g
・濃度=30g÷500g=0.06=6%

以上の通り、混ぜると6%となります。上の流れの中の「食塩の量」に着目して面積図を書くと(横が質量(g)、縦が濃度(%))、

f:id:t-kazu-t:20171203233429j:plain

上図の通り、6gと24gの食塩の量が面積で表せまして、これらを合わせた全体の濃度を算出するということは、

f:id:t-kazu-t:20171203234237j:plain

最初にあった黒の2つの長方形の面積を足して(6g+24g)、それを横幅全体(200g+300g)で割ると、6%という「高さ」が算出されます。すなわち混ぜ合わせた濃度を算出するという行為は、この面積図の赤の長方形の高さを算出しているのと同じです。

最初にあった黒の2つの長方形の面積の合計と、赤の長方形の面積が等しいことに着目すると、

f:id:t-kazu-t:20171204000351j:plain

緑で着色している、面積aと面積bは等しいと分かります。

混ぜ合わせた後の濃度6%に対する差はぞれぞれ3%と2%で、この比は3:2ですが、これは質量比200g:300g=2:3の逆比となっており、これは面積aと面積bが等しい訳ですから、必ず成り立つ関係となります。

すなわち、どのような濃度と質量の組み合わせであっても、2つの食塩水を混ぜると、

混ぜた後の濃度に対する濃度差の比と、質量比は逆比の関係になっている

ことが必ず成り立ちます。この結論がここで説明したかった内容となります。

以下、この関係を使って比較的難度の高い(この関係を使わなければ解くのが難しい)文章問題の実例を解いていきます。

例題と解答(解説)

問題

4%の食塩水と8%の食塩水を混ぜて5%の食塩水を1000g作りたい。それぞれ何gずつ混ぜればよいか。

数学について質問です。食塩水問題。 - Q1 4%の食塩水と8%の食塩水を... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・出来上がり5%に対する濃度差
 4%の食塩水…5-4=1
 8%の食塩水…8-5=3

・従って質量比は上記の逆比なので
 4%の食塩水:8%の食塩水=3:1

・以上により
 4%の食塩水…1000g×3/4=750g (答え)
 8%の食塩水…1000g×1/4=250g (答え)

問題

5%の食塩水が500gあります。
これに12%の食塩水を加えたところ、
10%の食塩水になりました。
12%の食塩水を何g加えたのでしょう

誰かこの問題教えて下さいm(_ _)m5%の食塩水が500gあります。これに12%の... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・出来上がり10%に対する濃度差
 5%の食塩水…10-5=5
 12%の食塩水…12-10=2

・従って質量比は上記の逆比なので
 5%の食塩水:12%の食塩水=2:5

・5%の食塩水は500gなので、12%の食塩水の量は
 500g×5/2=1250g (答え)

問題

水100gに食塩5gを入れ、それに8%の食塩水を加えたら6%の食塩水ができました。
6%の食塩水は何gですか?

中学の方程式 食塩水問題で教えてください。水100gに食塩5gを入れ... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・水100gに食塩5gを入れたもの
 濃度…5g÷(5g+100g)=1/21=100/21 %
 食塩水の量…5g+100g=105g

・出来上がり6%に対する濃度差
 100/21 %の食塩水…6-100/21=26/21
 8%の食塩水…8-6=2

・従って質量比は上記の逆比なので
 100/21 %の食塩水:8%の食塩水
 =2:26/21
 =21:13

・100/21 %の食塩水が105gなので、出来上がりの量は
 105g×(21+13)/21=170g (答え)

問題

80gの水に2パーセントの食塩水と5パーセントの食塩水を混ぜ、4%の食塩水を500gつくりたい、

2パーセントの食塩水を何gまぜるべきか

数学80gの水に2パーセントの食塩水と5パーセントの食塩水を混ぜ、4%の食塩... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・出来上がりの4%の食塩水500gに含まれる食塩の量は
 500g×0.04=20g

・そこから混ぜた真水80gを抜くと
 濃度…20g÷(500g-80g)=1/21=100/21 %
 食塩水の量…500g-80g=420g

・2%の食塩水と5%の食塩水を混ぜて上記食塩水を作れば良い。

・出来上がり100/21 %に対する濃度差
 2%の食塩水…100/21-2=58/21
 5%の食塩水…5-100/21=5/21

・従って質量比は上記の逆比なので
 2%の食塩水:5%の食塩水=5:58

・合わせて420gなので、2%の食塩水の量は
 420g×5/(5+58)=100/3 g (答え)

問題

①濃度のわからない食塩水が200gある。ここに10%の食塩水を300g混ぜたら8%の食塩水ができた。はじめにあった食塩水の濃度は何%だったか。

濃度の問題です。①濃度のわからない食塩水が200gある。ここに10%の食塩... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

・2つの食塩水の質量比
 □%の食塩水:10%の食塩水=200g:300g=2:3

・出来上がり8%に対する濃度差は上記の逆比
 □%の食塩水:10%の食塩水=差3:差2

・10%-8%=2%なので、上記の比の「2」が2%なので、「3」は3%であることから
 □=8%-3%=5% (答え)

おまけ(別の解法でも解くことは可能です)

今回解説した濃度比と質量比の関係を知らなくても、今回挙げた例題程度なら、基本知識(第1回記事で解説したような基本)のみでも答えにたどり着けます。

上の例題の1つ目と2つ目を例として別の解き方を記します。

問題

4%の食塩水と8%の食塩水を混ぜて5%の食塩水を1000g作りたい。それぞれ何gずつ混ぜればよいか。

数学について質問です。食塩水問題。 - Q1 4%の食塩水と8%の食塩水を... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

鶴亀算で解いてみます。

・出来上がりの5%の食塩水1000gに含まれる食塩の量は
 1000g×0.05=50g

・仮に1000g全てが8%だったと仮定すると、食塩の量は
 1000g×0.08=80g

・実際より80g-50g=30g多い。

・上の仮定から1gずつ8%→4%に入れ替えると、食塩の量は
 0.08g-0.04g=0.04g
 ずつ減少する。

・従って
 多い分30g÷0.04g=750g
 を8%→4%に入れ替えれば良いと分かる。

・入れ替えた後に残る8%は
 1000g-750g=250g

・答え
 4%の食塩水が750g
 8%の食塩水が250g

問題

5%の食塩水が500gあります。
これに12%の食塩水を加えたところ、
10%の食塩水になりました。
12%の食塩水を何g加えたのでしょう

誰かこの問題教えて下さいm(_ _)m5%の食塩水が500gあります。これに12%の... - Yahoo!知恵袋より引用

解答(解説)

鶴亀算の応用で解いてみます。

・5%の食塩水500gには
 食塩…500g×0.05=25g
 水…500g×0.95=475g
 が入っている。

・これを10個のビーカーに、以下の通り仕分けする。
 食塩…1個(25g)
 水…9個(1個あたり475/9 g)

・ビーカー1個あたり、水のほうが
 475/9-25=250/9 g …①
 多い

・このビーカーの中身の量が等しくなれば濃度は10%

・12%の食塩水1g(食塩0.12g、水0.88g)を同様に仕分けすると
 食塩…1個(0.12g)
 水…9個(1個あたり0.88/9 g)
 1個あたり食塩のほうが
 0.12-0.88/9=0.2/9 g …②
 多い

・従って最初に5%の食塩水を仕分けしたビーカーに、12%の食塩水を同じように仕分けしながら
 ① ÷ ②
 =250/9 ÷ 0.2/9
 =250/9 × 9/0.2
 =1250g
 足せば、10個のビーカーは同じ量となり、濃度は10%となる。

・答え 1250g

おわりに

以上、食塩水の濃度比と質量比の関係について記しました。