割り算の筆算の「本質部分」を図解により説明します

はじめに

私は教育の(教える側の)プロではありませんが、息子(現在小学四年生)には一年生になる少し前から自宅で算数を独自に教えているのですが、今のところ息子が理解出来ているという意味ではそこそこ上手く行っていると思っています。
2019-10-25追記．息子は現在は小学六年生ですが、数学検定4級(中学校2年程度)に合格しています。追記終わり

筆算などの「やり方」をメインで教える訳ではなく、あくまで「本質」を教えるという部分を強く意識して教えたところ、比較的早い段階から掛け算割り算などの計算では全く困らないという感じで成長してくれています。

今まで教えた内容について、記憶を辿って以下にまとめます。基本的に掛け算と共に割り算も「簡単」ですので、誰かのお役に立てれば幸いに存じます。

なお、図解の説明の部分では色分けを行って説明しています。

九九の範囲の割り算(最も初級だが「概念」を意識してしっかり覚えることが大事)

「割る数」及び「商」のいずれもが1桁の割り算は反対から「掛け算」として見ると「九九の範囲」であり最も単純です。

「掛け算(九九)の反対」として数字を眺めれば簡単に答えは出ます。例えば「15÷5」でしたら「5」に何を掛けたら「15」になるかと考えれば答えはすぐに「3」と分かります。

しかしながら例えば下図のように「15cmのモノを5分割すると1つ3cmとなる」ことを考えるということが文字通り「割り算」の本質でありますし、

また下図のように「15円を5人で分けると1人あたり3円ずつとなる」(分配する)ことを考えるということでもあります。

このような「概念」の部分を最初に強く認識しながら割り算を覚えることが、後々商の桁数が増えた際の理解度に影響してくるという意味で非常に肝要であると私は思っています。

なお、以降の説明は「分配」のほうを用いていますが、これは単に私が説明しやすいのでそうしているだけであり、こちらのほうが他より本質的であるということではありません。ちなみに息子に教えた際も基本的に以下の通り教えました。

商が1桁の割り算

割られる数及び割る数の桁数がどれだけ増えようと「商」が1桁である限りは、図解による説明は変わらないという意味で上で述べた「九九の範囲」の延長と考えています(例えば1575÷175＝9のような計算)。

具体的に言うと頭の中で考える計算は「割る数×1桁の商＝割られる数」(例示で言えば175×9＝1575)を一回だけ考える訳であり原則として筆算も不要(用いても優位性が無いという意味)な計算となります。

従ってこれ以上の(図解による)説明は行いません。

商が2桁の割り算

「1692÷36＝」という問題を例として以下に述べます。すなわち、下図のように1692円を36人に配ったら一人あたり何円になるのかを考えます。

まず、「簡単に配れる額」を考えます。すなわち、「分ける人数×一桁」の後に0か00か000か…を付けるだけで計算できる数(すなわち計算する部分は「分ける人数×一桁」だけ)を考える訳です。

・36人×30円＝1080円　まだ少なそう
・36人×40円＝1440円　まだかな…
・36人×50円＝1800円　あ、超えてしまった

と計算して「総額を超えて良い訳が無いので、まず40円を配ろう」と決める訳です(下図)。

そして40円ずつ配ったら総額がいくら減りいくら残るかを考えます。当たり前ながら36人×40円＝1440円減りますので、残りは1692円－1440円＝252円となります(下図)。

残った252円を36人に配るには、一人当たり7円配れば36人×7円＝252円と分かりますので、それを配れば残りはゼロになり、一人当たりは40円＋7円＝47円と分かります(下図)。

割り算の筆算の本質は以上であり、それを筆算で書けば下図の左であり、また下図の右のように「末尾のゼロ」を省略しようが左のように省略しまいが本質的には何も違いはありません。

また、仮に筆算の書き方など知らなくても、上の本質さえ知っていれば、

・1692－36×40＝252
・252÷36＝7
・40＋7＝47

と求めたい答えは分かります。「筆算」と言うのはこの流れを「便利に記す」為のツールでしかなく、それ以上でもそれ以下でも無いと私は考えています。

更に商の桁数が上がっても…

上の説明では「商が2桁」でしたので配る動作も「2回」だった訳ですが、もうお分かりの通り「商が3桁」になれば配る動作も「3回」に増えるだけであり、更に増えても本質的には全く何も変わりませんし、いわゆる「難度」が上がる訳ではありません。更に言えば、商の中にゼロが含まれていようが、もしくは余りがあろうが、この「本質」さえ理解出来ていれば、迷うことは何も無い訳です。

商が3桁のケースについて図解は省略させて頂き、色分けした筆算のみ以下に記すことに致します。

「商以外」の桁数は割り算のレベルには関係しない

以上の通り「商」の桁数と「配る回数」がシンクロしていますので、上ではその回数がいくら増えようが本質的に難度は変わらないと書きましたが、仮に「商の桁数(配る回数)が多いほうが高レベル」と考えるとしても、それは「商の桁数」のみに依存するのであって、その他の二つ(割られる数と割る数)がどれだけ大きくなろうと、暗算の難しさは上がったとしても「割り算のレベル」は何も変わらないものとなります。

例えば「商が2桁」である限り、その他の数字がどれだけ大きくても本質的には上の図解と何も変わりません。その例示として326370÷3795という計算に関して図解は省略させて頂き、色分けした筆算のみ以下に記すことに致します。

おわりに

以上、まだ息子が小さい時に教えた「割り算の筆算の本質」の部分を記させて頂きました。これを教えて以降、桁数が増えても困ったことは今のところありません。

息子は分数の計算でも今のところ困ったことはありませんし、例えば繰り上がり、繰り下がりのある帯分数どうしの足し算や引き算なども1日でマスター出来ましたが、分数を(方法論ではなくきちんと)理解する為のベースには「割り算の深い理解」が関係しているのかも知れないな、という風にも感じています。