【算数】特殊算の解き方(6)(後編) 仕事算の解き方を解説します(後編)
はじめに
この記事は前回記事(コチラ)の続きとなります。
仕事算の解き方に関する基本事項は前回記事の前半をご参照下さい。前回記事の後半で色々な仕事算を解いてきて、今回はその続きとなります。なお、記事が長くなり過ぎるので前編と後編に分けているだけで、それ以上の意味はありません。
色々な仕事算を解いてみます(続き)
問題
Aのみで24日、Aで3日、Bで14日で終わる仕事がある。Bのみでは何日？
【仕事算】 - Aのみで24日、Aで3日、Bで14日で終わる仕事がある。Bのみでは... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
この問題は「能力比を把握する方法」で簡単に(暗算レベルで)出ます。なお、前回記事で述べました通り、この方法は一般的なものではありません(私が勝手に思い付いたやり方)。
・Aのみなら24日で終わる
Aが3日＋Bが14日で終わる
・と言うことは、Aの21日分の仕事をBが14日でしていると分かるので、能力は所要日数の逆比より
A：B＝14：21＝2：3
・従ってAのみなら24日なので、Bのみなら
24日×2/3＝16日 (答え)
問題
ある仕事をするのに、aの機械だけを使うと12時間かかる。この機械を使って最初は仕事を始めた。しかし、約束の時間に間に合いそうにないので、途中からaの1.5倍の速さでこなす機械bに変えた。
そうしたら作業を始めてから9時間で仕上がり、何とか約束の時間に間に合った。機械bは何時間使ったか。
解答(解説)
仕事算の他、鶴亀算を使って解いています。
・aの1時間あたりの仕事量を「2」とする。
仕事量全体は2×12時間＝24
bの1時間あたりの仕事量は2×1.5＝3
・24全てでaを使用したと仮定すると、所要時間は
24÷2＝12時間
・現実は9時間なので
12時間－9時間＝3時間
長い
・仕事量を1ずつa→bに切り替えると、所要時間は
1/2－1/3＝1/6時間
ずつ短くなる。
・従って
3時間 ÷ 1/6時間 ＝ 18
の仕事をa→bに入れ替えれば良い。
・以上によりbを使用した時間は
仕事量÷1時間あたりの仕事量
＝18÷3
＝6時間 (答え)
問題
A1人では48日、B1人では32日、C1人では96日かかる。全員が共に働いたら、仕事を終えるのに何日かかるか。
仕事算の問題で - A1人では48日、B1人では32日、C1人では96日かかる。全員... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
上の2問は標準的では無かったので、この問題は標準的なものをピックアップしました。仕事量を「1」として分数で解く方法は引用元の回答で既出ですので、ここでは最小公倍数を仕事量とする方法で解きます。
・仕事量を「96」とする。
・1日あたりの仕事量は
A＝96÷48日＝2
B＝96÷32日＝3
C＝96÷96日＝1
3人合わせると
A＋B＋C＝2＋3＋1＝6
・従って3人合わせた時の所要日数は
仕事量÷1日あたりの仕事量＝96÷6＝16日 (答え)
問題
Aが１人でやると１０時間かかり、Bが１人でやると１５時間かかる仕事がある。Aが１人でやって途中でBに変わってもらった。Aが始めてから１２時間で終わったとすると、Aが仕事をしていた時間は何時間ですか。
解答(解説)
これは食塩水の問題や平均の問題を解く際の面積図で考えると暗算レベルで答えが出ます。(面積図は省略します)
・仕事量を「30」とする。
・1時間あたりの仕事量は
A＝30÷10時間＝3
B＝30÷15時間＝2
・今回は30の仕事が12時間で終わっているので、1時間あたり(2人の平均)は
30÷12時間＝2.5
・上記平均に対してAの3、Bの2は差が0.5ずつ等しいから、12時間の内、AとBは丁度半分ずつ占めていると分かる。
・従ってAがしていた時間は
12時間÷2＝6時間 (答え)
問題
Aが１人でやると３０日かかり、Bが１人でやると２０日かかる仕事がある。Aが１人でやって途中でBに変わってもらった。Aが始めてから２５日で終わったとすると、Aが仕事をしていた日数は、何日かですか。
解答(解説)
上の問題と全く同じ解法ですが、上の問題は「丁度半分」だったので、そうならない問題を取り上げました。
・仕事量を「300」とする。
・1日あたりの仕事量は
A＝300÷30日＝10
B＝300÷20日＝15
・今回の仕事は25日で終わっているので、1日あたり(2人の平均)は
300÷25日＝12
・上記平均に対する差は
A…12－10＝2
B…15－12＝3
・働いた日数は上記の差の比の逆比なので
A：B＝3：2
・2人合わせて25日なので、Aが働いた日数は
25日×3/(3＋2)＝15日 (答え)
問題
Ａ１人がすると12日、Ｂ１人がするた16日でちょうど終わる仕事があります。この仕事をＡ,Ｂ２人で始めましたが、途中でＢが□日休んだため、9日でちょうど終わりました。
解答(解説)
標準的で無い問題が2問続きましたので、これは標準的な問題を取り上げました。仕事量を最小公倍数とする解き方は引用元の回答で既出ですので、ここでは最もベーシックな、仕事量を「1」とする方法で解きます。
・仕事量を「1」とする。
・1日あたりの仕事量は
A＝1÷12日＝1/12
B＝1÷16日＝1/16
・Aは9日間ずっと働いているので、こなした仕事量は
1/12 × 9日 ＝ 3/4
・以上によりBがこなした仕事量は
1－3/4＝1/4
・Bが働いた日数は
仕事量÷1日あたりの仕事量
＝1/4 ÷ 1/16
＝4日
・従ってBが休んだ日数は
9日－4日＝5日 (答え)
問題
仕事算について問題です。3人が何日か働いて仕事全体の5分の3終えた。残りは4人で2日かかった。この仕事は全部で何日かかったか？
解答(解説)
通常は仕事全体の量を「1」や「最小公倍数」で決めますが、それは各人の単位あたり(1日あたりもしくは時間あたり)の仕事量が異なるからそうするのであって、この問題のように各人の単位あたりの仕事量が等しい場合は、各人の単位あたりの仕事量を「1」とするのが最も簡単に解けます。
・1日1人あたりの仕事量を「1」とする。
・最後の2日で行われた仕事量は
4人×2日＝8
・これが全体の5分の2なので、最初の何日かで行われた全体の5分の3の仕事量は
8×3/2＝12
・これを3人でこなした訳だから、その所要日数は
12÷3人＝4日
・従って通算では
4日＋2日＝6日 (答え)
問題
Aだけでおこなうと９時間かかる仕事がある。Aが３時間仕事に取り組み、残りをBが仕事をする。Bは、Aより1.8倍の速さで仕事ができるとすると、Bが行った仕事は何時間か。割りきれない場合は、分数で答よ。
解答(解説)
仕事が題材になっているというだけで、内容は特殊算でも何でもない、普通の文章問題となっています。
・Aが3時間仕事をした残りは、Aがした場合の6時間。
・その残りを「Aの1.8倍の速さのB」がするので、その所要時間は
6時間÷1.8＝6/1.8時間＝30/9時間＝10/3時間(答え)
問題
通常3人で1日8時間働いて10日かかる仕事がある。この仕事を4人で6日間で終わらせたい。1日何時間働けばよいか。
解答(解説)
各人の能力が同じなので、単位あたりの仕事量を「1」とする方法で解きます。
・1人1時間の仕事量を「1」とする。
・3人、1日8時間、10日で終わる仕事なので仕事量は
3×8×10＝240
・4人、6日間で終わらしたい訳だから、1日の仕事時間は
240÷(4×6)＝10時間 (答え)
問題
20日で仕上げなければならない仕事がある。はじめ10人で仕事をしていたが、14日たっても全体の5/2の仕事しかできなかったため人数を増やすことにした。
予定日までに完成させるためには、あと何人増やせばよいか。 ただし、１人１日当たりの仕事量は同じとする。
注)引用なのでそのまま記していますが、問題中の「5/2」は誤りで2/5(5分の2)が正です。
解答(解説)
全体の仕事量や単位あたりの仕事量など全く把握しなくても解ける、むしろ仕事算とは言えないような内容となっています。
・最初に14日間で全体の2/5の仕事をした(人数は10人)。
・残りは6日間で全体の3/5の仕事をしなければならない。
・従ってこの6日間の必要人数は
日数の少なさと仕事量の多さの割合より
10人×(14日/6日)×(3/2)＝35人
・以上により増やす人数は
35人－10人＝25人 (答え)
問題
ある量の仕事を行うのに、Aだけが12日間働き、その後Bだけが10日間働くと、その仕事が終わる。また、AとBが一緒に8日間働いて、その後Bだけが7日間働いても仕事が終わる。この仕事をAだけが働いて終わらせることができる日数は何日か。
解答(解説)
これも題材が「仕事」というだけで、実質的には消去算(Bを消す)となっています。
・Aが12日＋Bが10日で仕事が終わる。…①
・Aが8日＋Bが8日＋Bが7日
＝Aが8日＋Bが15日でも仕事が終わる。…②
・①、②より
Aの4日＝Bの5日
と分かるので、①のBをAに書き換えると以下の通り。
・Aが12日＋Bが10日
＝Aが12日＋Bが5日＋Bが5日
＝Aが12日＋Aが4日＋Aが4日
＝Aが20日
・答え 20日
問題
Aさんがすべて一人でやると２４日、Bさんがすべて一人でやると２１日かかる仕事がある。
この仕事をAさんが一人で１６日間やった後、１７日目かrはBさんが一人でやったとすると、Aさんが仕事を始めてから何日で仕事が完成するか。
注)引用なので修正していませんが、問題文中の「１７日目かrは」は「１７日目からは」が正となります。
解答(解説)
こちらも「仕事算」というよりかは普通の文章問題の範疇かと思います。
・Aは24日で全ての仕事が出来るので、そのAが16日でやった仕事は全体の
16日/24日＝2/3
・従って17日目以降にBがやった仕事は全体の
1－2/3＝1/3
・Bは全部すると21日掛かる訳だから、上記をやるのに必要な日数は
21日×1/3＝7日
・以上によりトータルの日数は
16日＋7日＝23日 (答え)
問題
よしきさんは毎日同じ仕事をする。今、よしきさんがＣＧデザインを作ろうとして14日働いて全体の3/7を済ませた。残りの仕事をするのに18日と7時間かかった。よしきさんは１日に何時間働いているでしょう。
解答(解説)
こちらも「全体の仕事を1とする」みたいな仕事算とは無関係で解ける問題となります。
・最初の3/7は14日間掛かっている。
・残りの4/7の所要日数は上記の4/3倍なので
14×4/3＝56/3＝18と2/3日
・この「2/3日」が7時間なので、1日の労働時間は
7時間÷2/3＝7時間×3/2＝10.5時間(答え)
問題
水そうを水でいっぱいにするのに、細い水道管では７０分かかり、太い水道管では２８分かかります。
両方の水道管を使って１２分間水を入れたあと、細い水道管を止めて、太い水道管だけで水を入れ続けます。水そうがいっぱいになるまでに、はじめから何分かかりますか。
解答(解説)
あと2問で終わります。最後の2問はベーシックな問題と解き方で終わります。仕事量を「1」として分数で解く方法は引用元で既出ですので、ここでは仕事量を最小公倍数とする方法にします。
・水槽の容量を140とする。
・1分あたりの給水量は
細い水道管…140÷70分＝2
太い水道管…140÷28分＝5
・両方で12分間入れると
(2＋5)×12分＝84
残りは
140－84＝56
・この残りを太い水道管のみで入れるので、その所要時間は
56÷5＝11.2分
・従ってトータルの時間は
12分＋11.2分＝23.2分 (答え)
問題
Aさん1人で20日かかる、Bさんに手伝ってもらうと12日で終わる。
16日で仕上げるには何日手伝って貰えば良いのでしょうか？
解答(解説)
最後の問題です。これも素直な方法で解きたいと思います。
・仕事量を「1」とする。
・1日あたりの仕事量は
A＝1÷20日＝1/20
A＋B＝1÷12日＝1/12
B＝1/12－1/20＝5/60－3/60＝2/60＝1/30
・Aさんが16日働くとこなした仕事量は
1/20 × 16日 ＝ 16/20 ＝ 4/5
・残りの仕事の量は
1－4/5＝1/5
・これをBさんが手伝えば良いので、その日数は
仕事量÷1日あたりの仕事量
＝1/5 ÷ 1/30
＝1/5 × 30/1
＝6日 (答え)
おわりに
まだまだ面白そうな問題が複数ありましたので、機会があればページを改めて記したいと思います。
【算数】特殊算の解き方(6)(前編) 仕事算の解き方を解説します(前編)
はじめに
私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。
今回は「仕事算」と呼ばれるものに関して記します。文字通り仕事が題材の問題の他、水槽に水を溜める問題なども本質的な内容が同じであれば「仕事算」として扱います。
なお、ここで扱うものは仕事量が一定の(増えない)ケースです。仕事量が増えるケースは「ニュートン算」と呼ばれるもので、ここでは扱いません。
仕事算の解き方の解説
ここでは最もシンプルな問題を例題として、3つの方法を解説したいと思います。
例題
ある仕事をAだけですると18時間
Bだけですると12時間かかります
2人同時に仕事をすると何時間何分かかるか？
仕事量を「1」として分数で解く方法
最もベーシックな解き方と思います。
・仕事量を「1」とする。
・Aの1時間あたりの仕事量は
1÷18時間＝1/18
・Bの1時間あたりの仕事量は
1÷12時間＝1/12
・2人合わせた1時間あたりの仕事量は
1/18＋1/12＝2/36＋3/36＝5/36
・以上により2人合わせた時の所要時間は
1 ÷ 5/36
＝1 × 36/5
＝36/5時間
＝7と1/5時間
＝7時間12分 (答え)
最後に1を5/36で割る部分が少し分かりにくいかも知れませんが、次の解き方の同じ部分を見ると理解しやすいと思います。すなわち、「仕事量÷1時間あたりの仕事量＝所要時間」となっています。
仕事量を最小公倍数とする方法
上の方法と本質的には同じですが、分数ではなく整数で解くために、仕事量を「1」ではなく最小公倍数とする方法です。なお、最小でなくても公倍数であれば解けますが、基本的には最小公倍数のほうが計算は楽になります。
・仕事量を「36」とする。
・Aの1時間あたりの仕事量は
36÷18時間＝2
・Bの1時間あたりの仕事量は
36÷12時間＝3
・2人合わせた1時間あたりの仕事量は
2＋3＝5
・以上により2人合わせた時の所要時間は
36÷5＝7.2時間＝7時間12分 (答え)
能力比を把握して解く方法
この方法は他の方がやっているのを見た記憶は無いのですが、自分で思いついた方法となります。
・所要時間に関してAはBの
18時間÷12時間＝1.5倍
・従って能力はその逆となり、BがAの1.5倍。すなわち
A：B＝1：1.5
・従って2人合わせて仕事をするということは、
Aが1＋1.5＝2.5人
で仕事をするのと同じことである。
・以上により2人合わせた時の所要時間は
A1人の場合の18時間÷2.5＝7.2時間＝7時間12分 (答え)
色々な仕事算を解いてみます
上の例題は最もシンプルな仕事算であり、実戦の問題は相当複雑なものまでありますが、上の基本知識(本質的な意味)さえ理解出来ていれば、その応用で相当難しいものでも解けます。私自身、解き方のテクニックの解説的なものは(仕事算に限らず)読んだことが無いのですが、読んだことが無いので解き方自体が標準的でない可能性は十分にありますが、とりあえず答えにはたどり着くことが出来ます。
そのような応用問題を以下で解いてみたいと思います。
問題
Aさんは40日で、Bさんは60日で仕事を終わらします。
二人で一緒に仕事をしていましたが、Aさんが休んだので30日かかりました。
Aさんは何日休みましたか？
解答(解説)
引用元では方程式で解かれていますが、ここではそれは使わずに算数で解きます(以降も全て同じ)。
・仕事量を「1」とする。
・Aさんの1日あたりの仕事量は
1÷40日＝1/40
・Bさんの1日あたりの仕事量は
1÷60日＝1/60
・Bさんは30日間ずっと働いているので、こなした仕事量は
1/60 × 30日間 ＝ 1/2
・従ってAさんがこなした仕事量は
1－1/2＝1/2
・Aさんが働いた日数は(仕事量÷1日あたりの仕事量)
1/2 ÷ 1/40 ＝ 20日
・従ってAさんが休んだ日数は
30日－20日＝10日 (答え)
問題
ある仕事をAさん1人で行うと30日かかり、Bさんが1人で行うと42日かかる。AさんとBさんの2人で何日か行った後、残りはBさんが1人で行って、ちょうど21日で終えた。
AさんとBさん2人で行ったのは何日か。仕事算です。 - ある仕事をAさん1人で行うと30日かかり、Bさんが1人で行うと42... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
上の問題と解き方はほぼ同じです。結局「Bさんは21日全て働いている」という部分に気付けるかがポイントとなります。
・仕事量を「1」とする。
・Aさんの1日あたりの仕事量は
1÷30日＝1/30
・Bさんの1日あたりの仕事量は
1÷42日＝1/42
・Bさんは21日全て働いているので、こなした仕事量は
1/42 × 21日 ＝ 1/2
・残りをAさんがこなしている。
仕事量＝1－1/2＝1/2
所要日数
＝仕事量÷1日あたりの仕事量
＝1/2 ÷ 1/30
＝15日
・従って2人で働いた日数は15日 (答え)
問題
ある仕事をするのにAが1人ですると60日かかかり、Bが1人ですると40日かかります。また、A,B,Cが３人ですると２０日かかり、A,B,Dが３人ですると１０日かかります。この仕事をC,Dが2人ですると何日かかりますか。
仕事算です。 - ある仕事をするのにAが1人ですると60日かかかり、Bが1人でする... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
これは仕事量を最小公倍数で解いてみます(特に意味は無い)。この問題は仕事算に加えて「消去算」の要素が入っています。それぞれの1日あたりの仕事量をA、B、C、Dと記します。
・仕事量を「120」とする。
・Aの1日あたりの仕事量は
A=120÷60日＝2
・Bの1日あたりの仕事量は
B＝120÷40日＝3
・A、B、Cの3人の1日あたりの仕事量は
A＋B＋C＝120÷20日＝6
・従ってCの1日あたりの仕事量は
C＝6－A－B＝1
・A、B、Dの3人の1日あたりの仕事量は
A＋B＋D＝120÷10日＝12
・従ってDの1日あたりの仕事量は
D＝12－A－B＝7
・以上によりCとDの2人の1日あたりの仕事量は
C＋D＝8
・CとDの2人の所要日数は
仕事量÷1日あたりの仕事量
＝120÷8
＝15日 (答え)
問題
ある仕事をするのに、Aは12時間、Bは18時間、Cは24時間かかります。
Aが何時間か行い、残りをBとCと順に行った時、全体で20時間かかりました。
Bの行った時間は、Aの行った時間の3倍の時、Cの行った時間はいくらか。
仕事算について質問がございます。 - ある仕事をするのに、Aは12時間、Bは18時... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
こちらも特に意味はありませんが仕事量は最小公倍数としてみます。仕事算に加えて鶴亀算の応用を含む解き方となります。
・仕事量を「72」とする。
・Aの1時間あたりの仕事量は
72÷12時間＝6
・Bの1時間あたりの仕事量は
72÷18時間＝4
・Cの1時間あたりの仕事量は
72÷24時間＝3
・Bの行った時間はAの3倍なので、これを1まとめにすると
Aの仕事量＝6×1時間＝6
Bの仕事量＝4×3時間＝12
仕事量合計＝6＋12＝18
時間の合計＝1＋3＝4時間
これを「セットD」と称す。
・仮に述べ20時間の全てがセットDだったと仮定すると(すなわちCの仕事はゼロ)、こなした仕事量は
20時間÷4時間＝5セット
仕事量＝18×5セット＝90
・これは現実より
90－72＝18
多い
・上の仮定からセットDを1セット減らし、その分だけC4時間に入れ替えると
18×1セット－3×4時間＝6
だけ仕事量が減る。
・以上により現実より仕事量は18多かったので
18÷6＝3
すなわちセットDを3セット減らし、Cが4時間×3＝12時間に入れ替えれば、正しい仕事量となる。
・以上によりCが行った時間は12時間 (答え)
問題
ある仕事をするのにAが１人ですると30分、Bが１人ですると20分、Cが１人ですると15分かかります。この仕事をはじめはAとBで5分間、そのあとC１人で3分間しました。Cのあと、A１人で残りを全部すると、あと何分かかるか。少数で答よ。
解答(解説)
標準的な解き方は引用元の回答にありますので、ここでは能力比で解いてみます。
・Aの能力を1とすると、所要時間の逆比より
B＝30分÷20分＝1.5
C＝30分÷15分＝2
・AとBで5分、Cで3分仕事をすると、「A1人でした場合は30分」の「30分」が減る分は
A5分…5分×1＝5分
B5分…5分×1.5＝7.5分
C3分…3分×2＝6分
・従って「A1人でした場合」の残りは
30分－5分－7.5分－6分＝11.5分 (答え)
おわりに
まだまだ色んなパターンの仕事算があるのですが、長くなりすぎたので、今回はここで終わり、残りは後編に分けたいと思います。
【算数】食塩水の文章問題の解き方の解説(3)(完) 比較的難度の高い例題を解いていきます
はじめに
私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。
食塩水の文章問題に関して何度かに分けて記す内の、今回は3回目となります。今回で終わりとします。
第1回はコチラ(基本事項の解説と例題の解法)
第2回はコチラ(濃度比と質量比の関係の解説と例題の解法)
いわば第1回の例題は超初級編及び初級編(と言っても全く単純で簡単という訳ではありません)、第2回の例題は中級編ですが、第3回の今回は前回までの知識を駆使して解くような比較的難度の高い例題を解いていきたいと思います。
特に、「出来上がりの濃度に対する差の比と質量比は逆比なので」という部分が分からない場合は第2回からお読み下さい。
例題と解答(解説)
問題
濃度が16%と7%の食塩水があります。
この二つの食塩水をまぜて濃度が13%で重さ300gの食塩水を作りました。
16%と7%の食塩水の分量を逆にすると濃度何%の食塩水ができるか。質量パーセントの問題がわかりません。 - 濃度が16%と7%の食塩水があります。こ... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
・出来上がり13%に対する濃度差は
16%の食塩水…16－13＝3
7%の食塩水…13－7＝6
・質量比は上記の逆比なので
16%の食塩水：7%の食塩水＝6：3＝2：1
・問題で問われているのは分量を逆にした場合なので
16%の食塩水：7%の食塩水＝1：2
・合わせて300gなので
16%の食塩水…300g×1/3＝100g
7%の食塩水…300g×2/3＝200g
・従って濃度は
(100g×0.16＋200g×0.07)÷300g＝0.1＝10% (答え)
問題
容器Aにはx%の食塩水が400g、容器Bにはy%の食塩水が400g入っている。いま、容器Aから200gを取り、容器Bに移してよく混ぜる。次に容器Bから200gを取り、容器Aに移してよく混ぜたところ、容器Aは8%、容器Bは6%の食塩水になった。この時、xとyの値を求めなさい。
中2数学連日方程式の利用の問題です - 容器Aにはx%の食塩水が400g、容器Bに... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
・2回目の操作では食塩水はB→Aとしか移っておらず、それで残ったBが6%であるということは、すなわち1回目の操作の後には既にBは6%であったことになります(ここが要点)。
・すなわち、一回目の操作後に
容器A…x%が200g
容器B…6%が600g
となっており、このxを求める問題となります(それが求まればyは単純計算)。
・2回目の操作後には
容器A…8%が400g
食塩の量は400g×0.08＝32g
容器B…6%が400g
食塩の量は400g×0.06＝24g
食塩の合計は32g＋24g＝56gあり、
この量は何回目の操作前も操作後
もずっと一定です。
・冒頭で述べた「一回目の操作後」の容器Bは「6%が600g」なので食塩は600g×0.06＝36g含まれますので、この時の容器A「x%が200g」には食塩が56g－36g＝20g含まれていると分かりますので、
x＝20g÷200g＝10%
と分かります。
・すなわち、一回目の操作前の「最初の状態」の容器Aが10%であった訳ですから、そこには食塩が400g×0.1＝40g含まれていたと分かり、その時の容器Bには食塩は56g－40g＝16g含まれていたと分かりますので、y＝16g÷400g＝4%と分かります。
・答え
x＝10%
y＝4%
問題
ビーカーに、１８ｇの食塩と582ｇの水を入れ、よくかき混ぜました。ビーカーから200ｇをくみ出して捨て、代わりに200ｇの水を入れて混ぜました。
次に、ある濃度の食塩水をビーカーに入れたところ、5％の食塩水が800ｇできました。加えた食塩水の濃度は何％ですか？
解答(解説)
・最初に作った食塩水
食塩の量…18g
食塩水の量…18g＋582g＝600g
濃度…18g÷600g＝0.03＝3%
・上から200gをくみ出した残り
食塩の量…18g－200g×0.03＝12g
食塩水の量…600g－200g＝400g
濃度…3%(不変)
・上に200gの水を入れたもの…①
食塩の量…12g(不変)
食塩水の量…400g＋200g＝600g
濃度…12g÷600g＝0.02＝2%
・上にある濃度の食塩水を混ぜて
出来上がった5%の食塩水800g…②
食塩の量…800g×0.05＝40g
食塩水の量…800g
・従って求めるものは②－①
食塩の量…40g－12g＝28g
食塩水の量…800g－600g＝200g
濃度…28g÷200g＝0.14＝14% (答え)
問題
10%の食塩水300gと１%の食塩水を何gかをよく混ぜて、そこに食塩を20g入れ、さらにそこから水を70g蒸発させたら6%の食塩水になった1%の食塩水は何gまぜたのだろうか。
解答(解説)
・最初にある10%の食塩水300g
食塩の量…300g×0.1＝30g
水の量…300g×0.9＝270g
・1%の食塩水を入れずに、先に食塩20gを入れ、また水を70g蒸発させると
食塩の量…30g＋20g＝50g
水の量…270g－70g＝200g
食塩水の量…50g＋200g＝250g
濃度…50g÷250g＝0.2＝20%
・この「20%の食塩水250g」と1%の食塩水を混ぜて6%とすることを考えれば良い。
・出来上がり6%に対する濃度差
20%の食塩水…20－6＝14
1%の食塩水…6－1＝5
・質量比は上記の濃度差の逆比なので
20%の食塩水：1%の食塩水＝5：14
・20%の食塩水は250gなので、1%の食塩水は
250g×14/5＝700g (答え)
問題
濃度も重さも分からない食塩水に濃度４％の食塩水を４０ｇ入れたところ濃度は1.2％下がりました。同じように濃度１６％の食塩水を60ｇ入れたところ濃度は2.4％上がりました。元の食塩水の濃度は何％ですか？
解答(解説)
方程式ではなく「算数」で解くには相当難しい問題と思います。ぎりぎり「算数の範疇かな」と思う解き方で解いてみました。面積図の詳しい書き方等は第2回記事をご参照下さい。
・左に4%の食塩水40g、真ん中に求めたい濃度不明な食塩水□g、右側に16%の食塩水60gの、食塩の量(食塩水の質量(横)×濃度(縦))に関する面積図を書きます。そして左と真ん中を混ぜると真ん中の不明な濃度から1.2%下がる部分を赤で、真ん中と右を混ぜると不明な濃度から2.4%上がる部分を緑で表現しています。
・混ぜた後の濃度に対する差の比と、質量比は逆比となることから、左の「a」と書いている部分の高さは以下の通り表現出来ます。
a：1.2＝□：40
a＝1.2×□／40＝0.03×□
・同様に右のbは以下の通りです。
b：2.4＝□：60
b＝2.4×□／60＝0.04×□
・4%から16%までの高さに関する関係式
0.03×□＋1.2＋2.4＋0.04×□＝16－4
・従って
0.07×□＝8.4
□＝120g
と分かります。
・後は単純計算で、真ん中の濃度は
4＋0.03×120＋1.2＝8.8% (答え)
(16－0.04×120－2.4＝8.8%としても同じ)
おわりに
とりあえず今回(第3回)で食塩水の文章問題の解説に関しては終わりたいと思います。まだまだ面白い問題があると思いますので、機会があればこのシリーズの第4回以降として追加したいと思います。
【算数】食塩水の文章問題の解き方の解説(2) 濃度比と質量比の関係を使って解く問題
はじめに
私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。
食塩水の文章問題に関して何度かに分けて記す内の、今回は2回目となります(第1回はコチラ)。今回は濃度比と質量比の関係を使って解く問題に関して記します。この関係を知らなくても自力で解けるケースも少なくありませんが、使って解くほうが圧倒的に労力が少ないケースも多いです。
最初に基本式
濃度 ＝ 食塩の量 ÷ (食塩の量＋水の量)
＝ 食塩の量 ÷ 食塩水の量
基本式について、更に詳しく(深く)お知りになりたい方は、本ブログの別ページに記していますので、コチラをご覧下さい。
濃度比と質量比の関係の説明
例えば3%の食塩水200g(これをAと称します)と、8%の食塩水300g(これをBと称します)を混ぜたケースで説明を進めます。
3%の食塩水200g(A)
・食塩の量…200g×0.03＝6g
・食塩水の量…200g
8%の食塩水300g(B)
・食塩の量…300g×0.08＝24g
・食塩水の量…300g
AとBを混ぜたもの
・食塩の量…6g＋24g＝30g
・食塩水の量…200g＋300g＝500g
・濃度＝30g÷500g＝0.06＝6%
以上の通り、混ぜると6%となります。上の流れの中の「食塩の量」に着目して面積図を書くと(横が質量(g)、縦が濃度(%))、
上図の通り、6gと24gの食塩の量が面積で表せまして、これらを合わせた全体の濃度を算出するということは、
最初にあった黒の2つの長方形の面積を足して(6g＋24g)、それを横幅全体(200g＋300g)で割ると、6%という「高さ」が算出されます。すなわち混ぜ合わせた濃度を算出するという行為は、この面積図の赤の長方形の高さを算出しているのと同じです。
最初にあった黒の2つの長方形の面積の合計と、赤の長方形の面積が等しいことに着目すると、
緑で着色している、面積aと面積bは等しいと分かります。
混ぜ合わせた後の濃度6%に対する差はぞれぞれ3%と2%で、この比は3：2ですが、これは質量比200g：300g＝2：3の逆比となっており、これは面積aと面積bが等しい訳ですから、必ず成り立つ関係となります。
すなわち、どのような濃度と質量の組み合わせであっても、2つの食塩水を混ぜると、
混ぜた後の濃度に対する濃度差の比と、質量比は逆比の関係になっている
ことが必ず成り立ちます。この結論がここで説明したかった内容となります。
以下、この関係を使って比較的難度の高い(この関係を使わなければ解くのが難しい)文章問題の実例を解いていきます。
例題と解答(解説)
問題
4%の食塩水と8%の食塩水を混ぜて5%の食塩水を1000g作りたい。それぞれ何gずつ混ぜればよいか。
解答(解説)
・出来上がり5%に対する濃度差
4%の食塩水…5－4＝1
8%の食塩水…8－5＝3
・従って質量比は上記の逆比なので
4%の食塩水：8%の食塩水＝3：1
・以上により
4%の食塩水…1000g×3/4＝750g (答え)
8%の食塩水…1000g×1/4＝250g (答え)
問題
5%の食塩水が500gあります。
これに12%の食塩水を加えたところ、
10%の食塩水になりました。
12%の食塩水を何g加えたのでしょう誰かこの問題教えて下さいm(_ _)m5%の食塩水が500gあります。これに12%の... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
・出来上がり10%に対する濃度差
5%の食塩水…10－5＝5
12%の食塩水…12－10＝2
・従って質量比は上記の逆比なので
5%の食塩水：12%の食塩水＝2：5
・5%の食塩水は500gなので、12%の食塩水の量は
500g×5/2＝1250g (答え)
問題
水100gに食塩5gを入れ、それに8%の食塩水を加えたら6%の食塩水ができました。
6%の食塩水は何gですか？
解答(解説)
・水100gに食塩5gを入れたもの
濃度…5g÷(5g＋100g)＝1/21＝100/21 %
食塩水の量…5g＋100g＝105g
・出来上がり6%に対する濃度差
100/21 %の食塩水…6－100/21＝26/21
8%の食塩水…8－6＝2
・従って質量比は上記の逆比なので
100/21 %の食塩水：8%の食塩水
＝2：26/21
＝21：13
・100/21 %の食塩水が105gなので、出来上がりの量は
105g×(21＋13)/21＝170g (答え)
問題
８０ｇの水に2パーセントの食塩水と5パーセントの食塩水を混ぜ、4％の食塩水を500ｇつくりたい、
2パーセントの食塩水を何ｇまぜるべきか
解答(解説)
・出来上がりの4%の食塩水500gに含まれる食塩の量は
500g×0.04＝20g
・そこから混ぜた真水80gを抜くと
濃度…20g÷(500g－80g)＝1/21＝100/21 %
食塩水の量…500g－80g＝420g
・2%の食塩水と5%の食塩水を混ぜて上記食塩水を作れば良い。
・出来上がり100/21 %に対する濃度差
2%の食塩水…100/21－2＝58/21
5%の食塩水…5－100/21＝5/21
・従って質量比は上記の逆比なので
2%の食塩水：5%の食塩水＝5：58
・合わせて420gなので、2%の食塩水の量は
420g×5/(5＋58)＝100/3 g (答え)
問題
①濃度のわからない食塩水が２００ｇある。ここに10％の食塩水を３００ｇ混ぜたら8％の食塩水ができた。はじめにあった食塩水の濃度は何％だったか。
解答(解説)
・2つの食塩水の質量比
□%の食塩水：10%の食塩水＝200g：300g＝2：3
・出来上がり8%に対する濃度差は上記の逆比
□%の食塩水：10%の食塩水＝差3：差2
・10%－8%＝2%なので、上記の比の「2」が2%なので、「3」は3%であることから
□＝8%－3%＝5% (答え)
おまけ(別の解法でも解くことは可能です)
今回解説した濃度比と質量比の関係を知らなくても、今回挙げた例題程度なら、基本知識(第1回記事で解説したような基本)のみでも答えにたどり着けます。
上の例題の1つ目と2つ目を例として別の解き方を記します。
問題
4%の食塩水と8%の食塩水を混ぜて5%の食塩水を1000g作りたい。それぞれ何gずつ混ぜればよいか。
解答(解説)
鶴亀算で解いてみます。
・出来上がりの5%の食塩水1000gに含まれる食塩の量は
1000g×0.05＝50g
・仮に1000g全てが8%だったと仮定すると、食塩の量は
1000g×0.08＝80g
・実際より80g－50g＝30g多い。
・上の仮定から1gずつ8%→4%に入れ替えると、食塩の量は
0.08g－0.04g＝0.04g
ずつ減少する。
・従って
多い分30g÷0.04g＝750g
を8%→4%に入れ替えれば良いと分かる。
・入れ替えた後に残る8%は
1000g－750g＝250g
・答え
4%の食塩水が750g
8%の食塩水が250g
問題
5%の食塩水が500gあります。
これに12%の食塩水を加えたところ、
10%の食塩水になりました。
12%の食塩水を何g加えたのでしょう誰かこの問題教えて下さいm(_ _)m5%の食塩水が500gあります。これに12%の... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
鶴亀算の応用で解いてみます。
・5%の食塩水500gには
食塩…500g×0.05＝25g
水…500g×0.95＝475g
が入っている。
・これを10個のビーカーに、以下の通り仕分けする。
食塩…1個(25g)
水…9個(1個あたり475/9 g)
・ビーカー1個あたり、水のほうが
475/9－25＝250/9 g …①
多い
・このビーカーの中身の量が等しくなれば濃度は10%
・12%の食塩水1g(食塩0.12g、水0.88g)を同様に仕分けすると
食塩…1個(0.12g)
水…9個(1個あたり0.88/9 g)
1個あたり食塩のほうが
0.12－0.88/9＝0.2/9 g …②
多い
・従って最初に5%の食塩水を仕分けしたビーカーに、12%の食塩水を同じように仕分けしながら
① ÷ ②
＝250/9 ÷ 0.2/9
＝250/9 × 9/0.2
＝1250g
足せば、10個のビーカーは同じ量となり、濃度は10%となる。
・答え 1250g
おわりに
以上、食塩水の濃度比と質量比の関係について記しました。
【算数】食塩水の文章問題の解き方の解説(1)
はじめに
私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。
食塩水の文章問題に関して何度かに分けて記す内の、今回は1回目となります。今回は面積図等を使わなくても解けるような基本的な例題(比較的簡単なもの)についての解き方を記します。ただし例題の最後の2問は初級編とは言えそこそこ難しくなっています。
基本式
最初に基本式を記します。
■基本式
濃度 ＝ 食塩の量 ÷ (食塩の量＋水の量)
＝ 食塩の量 ÷ 食塩水の量
基本式について、更に詳しく(深く)お知りになりたい方は、本ブログの別ページに記していますので、コチラをご覧下さい。
例題(1) 超初級編
問題
食塩10gと水190gを混ぜると、何%の食塩水が出来ますか。
(この問題は私の自作です)。
解答(解説)
簡単すぎて事例を見つけられなかったので自作の問題となります。
・食塩の量…10g
・水の量…190g
・食塩水の量…10g＋190g＝200g
・濃度＝10g÷200g＝0.05＝5% (答え)
問題
15%の食塩水200ｇと18%の食塩水200ｇと20%の食塩水100ｇを混ぜ合わせると何％の食塩水ができるか。
算数の質問です。 - 15%の食塩水200ｇと18%の食塩水200ｇと20%の食塩... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
上の問題と同様に単純計算であり難しい部分はありません。
15%の食塩水200ｇ
・食塩の量…200g×0.15＝30g
・食塩水の量…200g
18%の食塩水200ｇ
・食塩の量…200g×0.18＝36g
・食塩水の量…200g
20%の食塩水100ｇ
・食塩の量…100g×0.2＝20g
・食塩水の量…100g
上の3つを混ぜたもの
・食塩の量…30g＋36g＋20g＝86g
・食塩水の量…200g＋200g＋100g＝500g
・濃度＝86g÷500g＝0.172＝17.2% (答え)
問題
30gの食塩に何gの水を混ぜると、8%の食塩水が出来ますか。
(この問題は私の自作です)。
解答(解説)
比で考えると簡単に分かります。
・食塩：水＝8：92＝2：23
・以上により
水＝食塩×23/2＝30g×23/2＝345g (答え)
問題
食塩を361gの水に混ぜると、5%の食塩水が出来ました。この食塩の量は何gですか。
(この問題は私の自作です)。
解答(解説)
上の問題と同様に比で考えれば簡単に分かります。
・食塩：水＝5：95＝1：19
・以上により
食塩＝水×1/19＝361g×1/19＝19g (答え)
例題(2) 初級編
単純計算では無い、いわゆる特殊算として、初級編にあたると思うものをいくつか挙げます。
問題
14%の食塩水500gがある。これに何gの水を加えると10%の食塩水になるか？
14%の食塩水500gがある。これに何gの水を加えると10%の食塩水になるか？ - と... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
私が考えた解答です。
・14%の食塩水500gに含まれる食塩の量は
食塩＝500g×0.14＝70g
・加えるのは水だけなので、食塩の量は変わらない。
・食塩70gで濃度が10%となる時の食塩水(食塩＋水)の量は
食塩：食塩水＝10：100＝1：10
食塩水＝食塩×10＝70g×10＝700g
・元々の食塩水は500gなので、水を足す量は
700g－500g＝200g (答え)
問題
濃度3%の食塩水が450グラムある。これに食塩をくわえて濃度10%の食塩水を作るには、加える食塩の量はいくらか。
1濃度3%の食塩水が450グラムある。これに食塩をくわえて濃度10%の食塩水を作る... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
私が考えた解答です。加えるものが水なのか食塩なのかの違いで、基本的には上の問題と同じです。上と同様に方程式的なものは一切使わずに解いてみます。
・3%の食塩水450gに含まれる水の量は
450g×0.97＝436.5g
・加えるのは食塩だけなので、水の量は変わらない。
・水が436.5gで濃度が10%となる時の食塩水(食塩＋水)の量は
水：食塩水＝90：100＝9：10
食塩水＝水×10/9＝436.5g×10/9＝485g
・元々の食塩水は450gなので、食塩を足す量は
485g－450g＝35g (答え)
問題
15%の食塩水に水を80g加えたら9%の食塩水になった。15%の食塩水は何gあったか。
15%の食塩水に水を80g加えたら9%の食塩水になった。15%の食塩水は何gあったか。 ... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
方程式を使わないと難しいという意味で、いよいよ特殊算っぽくなってきましたが、まだまだ面積図等は無しでも普通に解けます。倍数算として解いてみます。
・水を加える前は15%
食塩：水＝15：85 …①
・水を加えた後は9%
食塩：水＝9：91 …②
・食塩の量は不変なので、その値を揃えて書き換える。
・①×3
食塩：水＝45：255
・②×5
食塩：水＝45：455
・食塩は45のまま水が455－255＝200増えており、これが加えた80gの水である。すなわち、比の数値の「1」は80g÷200＝0.4gである。
・以上により最初にあった食塩水の量は
0.4g×(45＋255)＝120g (答え)
問題
10％の食塩水Xgと15％食塩水Ygを混ぜて600ｇの食塩水を作るところ、間違えて逆にしてしまったので濃度が1％だけ少なくなった。X、Yの数量を求めよ。
食塩水問題 - 分かりません。10％の食塩水Xgと15％食塩水Ygを混ぜて600ｇの食塩... - Yahoo!知恵袋より引用
解答(解説)
今回は最後の問題とします。こちらも方程式的なものは全く無しでも普通に算数で解けます。
・出来上がりが600gで、濃度が1%だけ少なくなったということは、食塩の量が
600g×0.01＝6g
少なくなったことを意味している。
・10%と15%の濃度差は5%であり、間違ったことにより食塩の量が6g少なくなった訳だから、間違ったことにより両者の「差」が生じた食塩水の量は
6g÷0.05＝120g
・すなわち当初に予定していたXとYは、Yのほうが120g多かったと分かるので、XとYを合わせて600gであることも踏まえて和差算により
X＝(600g－120g)÷2＝240g (答え)
Y＝(600g－120g)÷2＋120g＝360g (答え)
・検算
(240×0.1＋360×0.15)÷(240＋360)＝13%
(360×0.1＋240×0.15)÷(360＋240)＝12% O.K.
おわりに
以上、基本式などの基本事項と、比較的簡単な部類の例題の解き方を事例として列挙しました。
