算数の「比」 内側どうしを掛けた値＝外側どうしを掛けた値 となっている本質的な意味

はじめに

ここで述べる考え方は、専門書やウェブ上のその他のページなどは一切読まずに記しており、すなわち「私の考え方」に過ぎませんのでご了承下さい。

内側どうしを掛けた値＝外側どうしを掛けた値

A：B　＝　C：D

この場合、

B×C　＝　A×D

となります。子供の頃に学校で習ったことを覚えている方も多いかと思います。

例えば、

1：2　＝　5：10

なら、

2×5　＝　1×10

となっています。

「そんなこと、公式(丸覚え)でも何でもなく本質的に当たり前じゃないか」と感じられる方は、これ以降をお読み頂く必要はありません。

何故に「当たり前」かを以下に説明致します。

「大きさの比率が変わらない」ことの意味

比で表現されている数字というのは、大きさの比率を表しています。例えば、

1：2

と言うのは「右は左の2倍」

ですし、

5：10

と言うのも同様に「右は左の2倍」

です。従って両者は「右は左の2倍」という性質が同じですので、

1：2　＝　5：10

という風にイコールで結ばれる訳です。

「内側どうしを掛けた値＝外側どうしを掛けた値」の意味

と言うことは、

A：B　＝　C：D

という式は必ず、

A：B　＝　N×A　：　N×B

という風に書き直すことが出来ます。例えば、

1：2　＝　5：10

であれば、

1：2　＝　5×1　：　5×2

と書き直すことが出来る訳です。「大きさの比率は変わらない」訳ですから、極めて当たり前の話となります。

A：B　＝　N×A　：　N×B

という風に書き直したものに対して考えれば、

内側どうしを掛けた値は　B×N×A＝N×A×B

外側どうしを掛けた値は　A×N×B＝N×A×B

であり両者は全く同じものですから、

内側どうしを掛けた値＝外側どうしを掛けた値

となる訳です。

以上で算数的な説明は終わりとなります。

もっと平たく言葉で説明すると

もっと平たく言葉で説明すると、

「A：B　＝　C：D　という式のCとDと言うのはAとBをN倍したものなのだから、B×C＝A×Dとなるのは当たり前の話」

ということになります。

余談：このやり方を知らずに比の問題を考える意味

現在小学四年生の我が家の一人息子ですが、算数検定6級(小学六年生レベル)を受験した際にこの「比」の問題が出てきましたが、塾に行かずに個人受験なので自宅で私が教えているのですが、今回は「自力で分かるものは細かく教えない」という方針としましたので、「比」に関しては「例えば50と100なら1：2みたいに書く」と最初に教えただけで、後は何も教えませんでした。

従って「内側どうしを掛けた値＝外側どうしを掛けた値」というものも教えなかったのですが、それでも例えば、

8：2　＝　□：0.5

みたいな問題でも、□＝2と正答していました。ちなみに分数の場合も全く問題無くて、本当に最初に「例えば50と100なら1：2みたいに書く」としか教えていません。

敢えて聞いていないので息子の頭の中のことまでは分かりませんが、たぶん「8：2は右が左の4倍だから、□＝0.5×4＝2」みたいな計算をしているのだろうと想像する次第ですが、「内側どうしを掛けた値＝外側どうしを掛けた値」というやり方に杓子定規に当てはめて考えるのではなく、まずは自力で考えながら、今回述べた方法(私の勝手な考え方)と同じであっても全く異なるものであっても、息子なりの方法で「内側どうしを掛けた値＝外側どうしを掛けた値」の本質的な意味に思いが至るようになって欲しいと思っています。

おわりに

以上、算数の「比」に関して「内側どうしを掛けた値＝外側どうしを掛けた値」となっている本質的な意味について記しました。

「1から50までの整数を全て足すといくつになりますか」

はじめに

当ページは元々は「息子がよく考えることが出来るようになってきた」というような日記的なものだったのですが、グーグルなどの検索から比較的よく読まれるようになってきたので、検索で来られた方は純粋に「1から50までの整数を全て足すといくつになるのか」その方法を知りたいということだと思いましたので、そのような内容にする為に大幅に書き換えました。

と言っても、何かの解説ページを読んで何かを書いても意味が無いので、あくまで自分が「算数」のことを考えている中で気づいた方法を記します。それが一般的なものであるのか無いのか私には分かりません(解説ページ等を読んでいない為)。

数学の知識はご法度ということで、あくまで「算数」による方法です。

1から50までの整数を全て足すといくつになりますか

問．1から50までの整数を全て足すといくつになりますか。

解答(解説)

1から50までを上段に、50から1までを下段に並べます。

1、2、…、49、50
50、49、…、2、1

上下を1つずつセットにしてから足していきます。

(1＋50)＋(2＋49)＋…＋(49＋2)＋(50＋1)

すると(51)が50個出来ますので、この合計は

51×50＝2550

となり、これは上下合わせたものなので、求めたい「1から50までの整数を全て足したもの」はこれを半分にして

2550÷2＝1275　(答え)

と求めることが出来ます。

おわりに

50までではなくいくつであっても同様に計算出来ます。

また1から始まっていないケースなどの応用編の際にイメージしやすいかな、と自分では思っています。

【雑記】 算数の文章問題は「文章の読解力の問題でもある」と改めて思った話

はじめに

息子(小学四年生)が算数検定6級を受けるのに市販の問題集で勉強していた時の話です。基本的に一からは何も教えずに間違ったり分からなかったりした問題だけを教える、というスタンスとしていました。

それで息子が間違った文章問題がありまして、その内容を見ているとタイトルに示した通り、算数の文章問題は「文章の読解力の問題でもある」と改めて思いましたので、その点を手短に記します。

なお、以下に記す文章問題は市販の問題集そのままではなく、主旨が変わらない範囲で私が今回の記事の為に作成したものとなります。

ほんの「僅か」な文章の違いで答えが違ってくる文章問題

問題(1)：兄は1100円持っていて、その額は弟が持っている額より1割多いそうです。弟が持っている額はいくらですか。

問題(2)：兄は1100円持っていて、それより1割少ない額を弟は持っています。弟が持っている額はいくらですか。

と言う訳で、二つの問題は大小の関係で言えば兄＞弟であり、かつ「1割違う」という部分も同じ訳ですが、問題(1)の場合はその「1割」が「弟が持っている額」に掛かっているのに対して、問題(2)の場合は「1割」が「兄が持っている額」に掛かっているという違いがあります。そしてこの部分の「読解」さえ出来ればほとんど解けたようなもので、いわゆる「計算」の部分は本当に簡単である訳です。

問題(1)の答え：
・1100÷(1＋0.1)＝1000
・答え：1000円

問題(2)の答え：
・1100×(1－0.1)＝990
・答え：990円

おわりに

算数の文章問題は「文章の読解力の問題でもある」と改めて思った話を取り上げさせて頂きました。

【雑記】 分からないことを「悔しい」と感じることは大切だと思った話(台形の内角の話)

台形の内角の簡単な問題が分からなかった息子

二ヶ月ほど前の話です。

自宅で息子の近くを通りかかった際に呼び止められました。

学校の算数の授業の際に下図(図形は台形)の「アを求めなさい」という問題が出て分からなかったとのことで、何故だか事情は分かりませんが息子より少し先に担任の先生から教えてもらっている生徒も居たそうで、その内の一人に「二つの角度を足したら180°になるので、答えは180－60＝120°」だと教えてもらったそうです。

で、「教えてもらってないから仕方ない」と何度か言ってまして、結構悔しく感じたのかも知れないな、と思いました。と言うのも自宅で先取り学習をやっている関係で、算数に限っては学校の授業で「分からない」ことは滅多に無いだろうと思われる為です。

私は「そんなこと教えてもらってなくても、上の線(上底)と下の線(下底)は平行なんだから、二つの角度を足したら180°になるってすぐに分かるやん！」と息子に話しました。自宅の勉強では平行線に関するものをはじめ様々な角度の問題もやっているので、そのように言ったのです。

すると息子は「うわっ、ホンマやなぁ…」と悔しそうに言いました。

本気で悔しかったであろう息子

その後私は自室に戻り仕事を再開したのですが(仕事はフリーランスです)、30分ほどして息子が自室にやってきまして、何を言い出すのかと思ったらなんと、

「さっき教えてもらったやつ、もう一回きちんと教えて」

と言われまして驚いたのでした。いわゆる「勉強」に関して何か説明をして勉強自体が終わり、その後の楽しい「遊び」の時間に至ってから改めて前に聞いた内容を再び説明してくれなんて息子が言ったのは、たぶん初めてなんじゃないかと驚いた訳です。

で、改めて問題の台形に下図の赤線のような補助線を入れてやり、上の線と下の線が平行ならば赤で記す部分が「60°」となるのでアの角度は180－60＝120°であることや、

何故に赤で記す部分が「60°」になるのかと言えば、例えば下図のように台形の左下の部分をちぎってその切れ端を逆さまにして左上に置くと赤のようになるので「60°」になるということを改めて説明しました。

すると「完璧に分かった！」と深く納得をしたような顔をしていました。

知識よりも大切かも知れない心の成長を感じた

自宅の自主勉強では図形の問題に関してももっと難しいものでもスラスラ正答しているので、学校において今回の程度の問題が出来なかったこと自体は最初に聞いて少し残念に感じたのは事実なのですが、

上で説明したような「本質」が深く理解出来ていればそもそも今回程度の問題で「分からない」なんてことには成り得ない訳ですから、「本質が理解出来ていない部分に気付けた」という意味では収穫でありますし、

何より息子自身が算数に関して人より分からなかったことを「悔しい」と感じ、時間を割いてでも説明を聞くことによって自ら深く理解したいと行動してくれたことに非常に嬉しく感じたのでした。

面積の単位の変換(cm2→m2など)を間違えずに確実にする方法 【算数検定7級】

はじめに

現在小学四年生の息子が三年生だった時に算数検定7級を受験したのですが(結果は合格でした)、その際に「面積の単位の変換(cm2→m2など)」に関して間違えずに確実に出来る(と私が考える)方法を教えたのですが、その内容を今回は記します。ちなみに現在(四年生になってから)は算数検定6級を受験し合格しています。

なお、「2乗」の表記についてブログでは小さな上付き文字が書きにくいので、「m2」「cm2」という風に記しますのでご了承下さい。

面積の単位の変換(cm2→m2など)を間違えずに確実にする方法

例題：　□　に当てはまる数字を書きなさい。

　70000cm2　＝　□　m2

という問題で、1m＝100cmですから、1m2＝100×100＝10000cm2なので、答えは70000÷10000＝7m2、という風に教えても(三年生の時の息子は)あまり理解出来ていなかったようでしたので、以下のように教えました。

上図の黒のみの状態を問題用紙の余白に書いて(タテヨコ比など実際と違っている適当な(殴り書き的な)絵で良い)、それで赤の部分を考えれば、直視的で簡単でしょうと教えた訳です。また「700×100」と分けても「350×200」と分けても、それは好きにしたら良いが(面積が変わらない限りタテヨコ比は自由)、どちらか一辺を「100cm＝1m」とすることで掛け算が凄く簡単になると教えました。このやり方で下に示すような問題も最終的には全てマスターしました。

例題：　□　に当てはまる数字を書きなさい。

　5000cm2　＝　□　m2

こちらも上で述べたケースとほとんど同じです。図を書くことで直視的にし、また一辺を「100cm＝1m」とすることで掛け算を簡単にしています。

例題：　□　に当てはまる数字を書きなさい。

　0.7m2　＝　□　cm2

こちらは逆にm2→cm2と変換するパターンですが、「図を書くことで直視的とする」のと「一辺を1m＝100cmとすることにより掛け算を簡単にする」点は全く同じとなります。

例題：　□　に当てはまる数字を書きなさい。

　2km2　＝　□　m2

こちらはkm2→m2の変換ですが内容は上で述べたものと全く同じとなります。

おわりに

今年(四年生)になってから算数検定6級の勉強をした際には、m3→cm3のような体積の単位を変換する問題が出てきましたが、息子は基本的に同じやり方で勝手にやっていました(直方体を書いて考えていた)。

「勝手にやっていました」と書いたのは、今年の6級は前回7級の時ほど手取り足取りは教えずに、先に一人で市販の問題をやらせてみて分からなかった部分だけ後から教えるようにしていたので、これに関しては直方体を書いて云々とは私からは何も教えておらず息子が勝手にやっていた、という意味となります。

以上、算数検定7級の「面積の単位の変換(cm2→m2など)を間違えずに確実にする方法」に関して記しました。