数学ではなく「算数」のページ

息子に算数を教えている際に作った問題などを公開します

「小数」「分数」「百分率」「比」などの関係が分かれば算数が面白い!(その2) 【詳細な説明】

はじめに

今回はシリーズ2回目です。

・第1回目はコチラをクリックして頂くと別窓で開きます。

このシリーズを書いている趣旨に関しては上記「第1回目」の冒頭をご参照下さい。

第1回に引き続きまして、今回も例題を基にして記していきます。なお、今回の例題は当ブログで過去に掲載した問題の再掲となります。

例題

ペットボトルに水が入っており、それをビーカーに移します。ビーカーは全て同じ大きさです。2つのビーカーに移そうとしたところ、水が100mL余ってしまいました。改めて3つのビーカーに等分してみると、各ビーカーの容量の75%まで水が入りました。ペットボトルに入っていた水の量は何mLですか。

(私が思う)普通の解き方

当ブログで過去に記した解答は以下の通りです。

・ビーカー1個の容量を1とすると、1+1=2より水は100mL多く、0.75×3=2.25と水の量は同じ。
・従って2.25-2=0.25が100mLと分かるので、ビーカー1個の容量は100×4=400mL
・従って水の量は400×2+100=900
・答え:900mL

以上の内容を、図を用いてもう少し詳しく説明すると以下の通りです。

「2つのビーカーに移そうとしたところ、水が100mL余ってしまいました」という状態をケース1、「3つのビーカーに等分してみると、各ビーカーの容量の75%まで水が入りました」という状態をケース2として、ビーカー1つの容量を「1」として線分図で図示すると下図の通りです。なお、ケース1の網掛けの部分が「水が100mL余って」いる部分を記しています。

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ケース2から明らかな通り水の量はビーカー2.25個分ですので、ケース1(ビーカー2個)の場合に余ってしまう水の量は「ビーカー0.25個分」と分かります。

この「余ってしまう水の量」が100mLと既知ですから、ビーカー1つの容量は100×4=400mLと分かり、水の量は400×2+100=900mLと分かります。

簡単な分数での解き方

この問題はまだ息子(小学四年生)にはやらせていないので、正答出来るかどうかは分かりませんが、正答出来るとしたらこんな感じの方法でやるだろうな、と想像しながら以下を記します。

上のような細かい小数の計算とか、線分図などの知識を用いなくても、簡単な絵(図)で考えれば分かる方法です。

75%というのは全体の四分の三ですので(ウチの息子もそうですが、これは簡単に分かるという前提です)、ケース2の「3つのビーカーに等分してみると、各ビーカーの容量の75%まで水が入りました」という状態を絵で書くと以下の通りです。

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「四分の一」という塊が9個ある状態です。右のビーカーの中の塊を2つ移動すると下図のようになります。

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この状態とケース1の「2つのビーカーに移そうとしたところ、水が100mL余ってしまいました」という文言を照らせば、右にある「四分の一」という塊1つが100mLと分かりますので、水の量はそれが9個分、すなわち900mLであると分かります。

以上が絵と簡単な分数による解き方となります。

おわりに

今回の問題も百分率とか小数にこだわらなくても思考することが出来る問題だと思いますし、ウチの息子はこの手の問題を三年生の時からやっていました。ただし当時は本当の意味で「百分率の意味など知らない」という状態でしたので、例えば「各ビーカーの容量の75%まで水が入りました」という文言は「各ビーカーの容量の四分の三まで水が入りました」というような書き方としていました。

前述したように今回の問題はまだ息子にはやらせていないので分かりませんが、前回の第1回記事で記した通り、このような「小数」「分数」「百分率」「比」などの関係性はかなり理解出来ているようで、その分だけ楽しそう、は言いすぎかも知れませんが算数の勉強に対する積極性は非常に高くなっていると感じています。

今回はシリーズ2回目でした。引き続き更新致します。

「小数」「分数」「百分率」「比」などの関係が分かれば算数が面白い!(その1) 【詳細な説明】

はじめに

我が家の一人息子(現在小学四年生)には自宅の自主勉強で私が算数を教えていますが、学校でのカリキュラム(教わる順番など)はあまり意識せずに教えています。

例えば本人が百分率に興味を持っているのに桁数の多い小数の計算がまだ未熟だからと勉強させないのは「非常にもったいない」と思いますし、百分率の問題を解くのに小数を使わずに思考したって、それは模範的な解法とは異なるのかも知れませんが「別に構わない」と思っています。すなわち、百分率というものの「本質」を理解しながら正しく思考する限りにおいては、その手法はどうだって構わないと考えている訳です。

そんな独自の方法で勉強をさせていて学力的に全く成果が出ていないのであれば何も言えない訳ですが、最近では息子も「細かく教えなくても理解出来る」事柄も増えてきましたし(例えば「比」の勉強を始める際には最初に「例えば50と100なら1:2やねん」としか話さなかったのですが、それだけで分数どうしを「比」で表す問題でさえも普通に解いていました)、また算数検定6級(小学六年生レベル)も30点満点の内の29点を取って一発合格していましたので、そこそこの学力は付いていると思います。

そんな息子を見ていて感じるのは別々に習った「小数」「分数」「百分率」「比」などの関係が自分で分かるようになってくるとグッと思考力が伸びてきたように思いますし、何より算数を「面白い!」と感じることが出来るようになってきたように思っています。

そのような関係性の部分を今回から何回かに分けて記したいと思います。

例題

太郎君の身長はお父さんの身長の80%です。二人の身長を合わせると306cmです。お父さんの身長は何cmですか。

(私が思う)普通の解き方

当ブログの「百分率の文章問題」というシリーズで同様の問題をよく書いていますが、その際には解答は(最近は)以下のように記しています。

・306÷(1+0.8)=170
・答え:170cm

これは下図を考えて、

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答えは「1」の部分が何cmであるかを問われている訳ですから、306÷(1+0.8)=170cmと算出している訳です。

小数を使わない解き方

息子にも上記の説明はその都度していますが、最初に自分で考えている時は今のところこちらで考えています(必ず途中式を書かせますのでそれを見れば分かります)。

お父さん「1」太郎君「0.8」を最も簡単な整数の比で表せば5:4ですので、下図のように表せます。

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すると1マスは306÷9=34cmと分かりますので、お父さんの身長は34×5=170cmと分かります。

算数の本質を勉強するという意味では、最初に述べた方法ではなくこちらの方法で考えていても全く問題無いと考えています。ただし問題が高度になってくると最初に述べた方法でないと難しくなってくる時もあることは息子には伝えています。

「比」として勉強した訳でもない

後から述べた方法であれば「1:0.8=5:4」という部分で「比」の知識を使っている訳ですが、息子はこのように思考して解いている訳では無さそうです。

では、何で学んだ知識(と言うより思考方法)を用いているのかと言えば、小学三年生の時からやっている「難しい文章問題」の分配算だと思われます。以下のような問題です。

例題:お父さんと太郎君は合わせて400円持っています。お父さんが持っている金額は太郎君が持っている金額の1.5倍です。お父さんが持っている金額はいくらですか。

解答(解説)
・400÷5=80 (財布を5つ用意し、総額400円を等分する)
・(その財布をお父さんが3つ、太郎君が2つ持てば「お父さんが持っている金額は太郎君が持っている金額の1.5倍」となる。従って)
・80×3=240
・答え:240円

改めて「比」を勉強した訳では無くともこのような思考をするようになりますし、このような勉強がベースにあったので、冒頭に記したように改めて「比」の勉強をする際には「例えば50と100なら1:2やねん」という説明だけで大方が理解出来たのだろうと思っています。

比による機械的な解き方

冒頭の例題に戻りますが、比で表すと、

・1:1.8=□:306

と表せますので、「内側どうし、外側どうしを掛けたものがイコール」と機械的に考えれば、

・1.8×□=1×306
・□=1×306÷1.8=170

と簡単に出ます。

ただし息子にはまだ「内側どうし、外側どうしを掛けたものがイコール」と機械的に考える方法は教えていません。算数検定6級の受験の時にはこの手の計算問題(上のような式が書いてあり□に当てはまる数字を答える問題)がありましたので、こういう機械的な方法を知っていたほうが有利なのでしょうが、思考力を培って欲しいという点で好ましいと考えていませんので、根本から考えてもらうようにしています。

おわりに

以上、「小数」「分数」「百分率」「比」などの関係が分かれば算数が面白いと思う点について例題を用いて記しました。

今回は第1回目です。引き続き更新致します。

百分率の文章問題(その15)  【上級編】【文章問題】

はじめに

・息子が現在(小学四年生)、自主勉強でやっている問題をベースとして当ページを作成しています。
・市販のドリルなども参考にしていますが原則として自作の問題となります。
・小数や分数の計算が出来ることが前提の問題です(ただしそれほど難しい計算はありません)。
・解法は模範的なものと異なるかも知れません。
・いわゆる(問題のみの)プリントをご要望の方コチラをクリックして頂くと問題のみ記したA4版PDFが開きます(保存先はGoogleドライブです)。

百分率の文章問題(その15) 

問題:あるクラスには男の子が18人、女の子が22人居ます。男の子の比率はクラス全体の何パーセントですか。

解答(解説):
・18÷(18+22)=0.45
・答え:45%

問題:プラモデルが定価の20%引きで1400円で売られていました。このプラモデルの定価はいくらですか。

解答(解説):
・1400÷(1-0.2)=1750
・答え:1750円

問題:ジュースがいくらかあり、その30%を兄が飲み、残った量の40%を弟が飲んだところ、残りは378mLとなりました。最初にあったジュースの量は何mLですか。

解答(解説):
・最初にあった量を1とすると、兄が飲んだ量は0.3、残りが0.7
・弟が飲んだ量は「残った量の40%」なので0.7×0.4=0.28
・378÷(1-0.3-0.28)=900
・答え:900mL

問題:ビーカーに容量(満タンにした時の量)の80%の水が入っています。入っている水の量の50%の量の水を足したところ、100mLあふれました。このビーカーの容量は何mLですか。

解答(解説):
・ビーカーの容量を1とすると、最初に入っていた水の量は0.8、後から足した水は0.8×0.5=0.4
・従って溢れた分は0.8+0.4-1=0.2
・ビーカーの容量の0.2(溢れた分)が100mLなので、ビーカーの容量は100×5=500mL
・答え:500mL

問題:ペットボトルに水が入っており、それをビーカーに移します。ビーカーは全て同じ大きさです。2つのビーカーに移そうとしたところ、水が100mL余ってしまいました。改めて3つのビーカーに等分してみると、各ビーカーの容量の75%まで水が入りました。ペットボトルに入っていた水の量は何mLですか。

解答(解説):
・ビーカー1個の容量を1とすると、1+1=2より水は100mL多く、0.75×3=2.25と水の量は同じ。
・従って2.25-2=0.25が100mLと分かるので、ビーカー1個の容量は100×4=400mL
・従って水の量は400×2+100=900
・答え:900mL

おわりに

「百分率の文章問題」シリーズは15回目です。随時更新致します。

百分率の文章問題(その14)  【上級編】【文章問題】

はじめに

・息子が現在(小学四年生)、自主勉強でやっている問題をベースとして当ページを作成しています。
・市販のドリルなども参考にしていますが原則として自作の問題となります。
・小数や分数の計算が出来ることが前提の問題です(ただしそれほど難しい計算はありません)。
・解法は模範的なものと異なるかも知れません。
・いわゆる(問題のみの)プリントをご要望の方コチラをクリックして頂くと問題のみ記したA4版PDFが開きます(保存先はGoogleドライブです)。

百分率の文章問題(その14) 

問題:太郎君の身長は140cmで、それはお父さんの身長の80%です。お父さんの身長は何cmですか。

解答(解説):
・140÷0.8=175
・答え:175cm

問題:花子さんの身長は姉の身長の90%です。二人の身長を合わせると266cmです。花子さんの身長は何cmですか。

解答(解説):
・(姉の身長を1とすると、花子さんは0.9)
・266÷(1+0.9)=140 (姉の身長)
・140×0.9=126
・答え:126cm

問題:次郎君の三年前の身長は現在より25%低く120cmでした。現在の身長は何cmですか。

解答(解説):
・(現在の身長を1とすると、三年前は1-0.25)
・120÷(1-0.25)=160
・答え:160cm

問題:左の箱にはくじ引きが60個入っていて、その内の30%が当たりです。右の箱には90個のくじ引きが入っていて、その内の10%が当たりです。これらを全て混ぜると、全体の何パーセントが当たりとなりますか。

解答(解説):
・60×0.3=18 (左の箱の当たりくじの数)
・90×0.1= 9 (右の箱の当たりくじの数)
・(18+9)÷(60+90)=0.18
・答え:18%

問題:青いボール1個の重さは赤いボール1個の重さの40%です。赤いボール2個と青いボール3個を足した重さは320gです。赤いボール1個の重さは何gですか。

解答(解説):
・(「青いボール1個の重さは赤いボール1個の重さの40%」なので、赤いボール2個と青いボール5個が同じ重さ)
・(上記より、「赤いボール2個と青いボール3個を足した重さは320g」の内の「赤いボール2個」を「青いボール5個」に入れ替えても320gは変わらない。従って青いボール5+3=8個で320gと分かる)
・320÷8=40 (青いボール1個の重さ)
・40÷0.4=100
・答え:100g

おわりに

「百分率の文章問題」シリーズは14回目です。随時更新致します。

百分率の文章問題(その13)  【上級編】【文章問題】

はじめに

・息子が現在(小学四年生)、自主勉強でやっている問題をベースとして当ページを作成しています。
・市販のドリルなども参考にしていますが原則として自作の問題となります。
・小数や分数の計算が出来ることが前提の問題です(ただしそれほど難しい計算はありません)。
・解法は模範的なものと異なるかも知れません。
・いわゆる(問題のみの)プリントをご要望の方コチラをクリックして頂くと問題のみ記したA4版PDFが開きます(保存先はGoogleドライブです)。

百分率の文章問題(その13) 

問題:900mLのジュースの35%を飲みました。残りは何mLですか。

解答(解説):
・900×0.35=315 (飲んだ量)
・900-315=585
・答え:585mL

問題:1200mLのジュースの30%を太郎君が飲み、残った量の40%を花子さんが飲みました。飲んだ量はどちらがどれだけ多いですか。

解答(解説):
・1200×0.3=360 (太郎君が飲んだ量)
・(1200-360)×0.4=336 (花子さんが飲んだ量)
・360-336=24
・答え:太郎君が24mL多い

問題:500mLの牛乳を兄と弟で飲んだところ、残りは140mLとなりました。弟が飲んだ量は兄が飲んだ量の50%でした。兄が飲んだ量は全体の何パーセントですか。

解答(解説):
・500-140=360 (二人合わせて飲んだ量)
・360÷(1+0.5)=240 (兄が飲んだ量)
・240÷500=0.48
・答え:48%

問題:大、中、小の水とうにお茶が入っています。中の水とうに入っているお茶の量は大の水とうに入っているお茶の量の80%です。小の水とうに入っているお茶の量は中の水とうに入っているお茶の量の90%です。 三つ合わせると3780mLあります。中の水とうには何mL入っていますか。

解答(解説):
・(中の水とうに入っているお茶の量を1とすると、大は1÷0.8=1.25、小は0.9なので)
・3780÷(1.25+1+0.9)=1200
・答え:1200mL

問題:ジュースと牛乳があり、牛乳の量はジュースの量の90%です。ジュースを50mL、牛乳を80mL飲んだところ、残りの牛乳の量は残りのジュースの量の80%となりました。最初にあったジュースと牛乳の量を求めなさい。

解答(解説):
・最初にあった量の比率は、ジュース:牛乳=1:0.9である。
・仮に比率は変わらないままとすると、ジュースを50mL飲めば、牛乳は50×0.9=45mL飲むことになる。
・しかし実際には牛乳は80mL飲んでおり、比率は1:0.8に変化している。従って、80-45=35mL「余分」に飲んだ分が、比率が0.9→0.8(差分0.1)に減った原因と分かる。
・従って「飲んだ後の量」の差分0.1が35mLである訳なので、「飲んだ後の残り」のジュースの量は35×10=350mLと分かる。ちなみに牛乳の残りの量は35×8=280mL。
・従って最初にあったジュースの量は350+50=400mL。最初にあった牛乳の量は400×0.9=360mL。
・答え:ジュース400mL、牛乳360mL

おわりに

「百分率の文章問題」シリーズは13回目です。随時更新致します。