【雑記】 分からないことを「悔しい」と感じることは大切だと思った話(台形の内角の話)

台形の内角の簡単な問題が分からなかった息子

二ヶ月ほど前の話です。

自宅で息子の近くを通りかかった際に呼び止められました。

学校の算数の授業の際に下図(図形は台形)の「アを求めなさい」という問題が出て分からなかったとのことで、何故だか事情は分かりませんが息子より少し先に担任の先生から教えてもらっている生徒も居たそうで、その内の一人に「二つの角度を足したら180°になるので、答えは180－60＝120°」だと教えてもらったそうです。

で、「教えてもらってないから仕方ない」と何度か言ってまして、結構悔しく感じたのかも知れないな、と思いました。と言うのも自宅で先取り学習をやっている関係で、算数に限っては学校の授業で「分からない」ことは滅多に無いだろうと思われる為です。

私は「そんなこと教えてもらってなくても、上の線(上底)と下の線(下底)は平行なんだから、二つの角度を足したら180°になるってすぐに分かるやん！」と息子に話しました。自宅の勉強では平行線に関するものをはじめ様々な角度の問題もやっているので、そのように言ったのです。

すると息子は「うわっ、ホンマやなぁ…」と悔しそうに言いました。

本気で悔しかったであろう息子

その後私は自室に戻り仕事を再開したのですが(仕事はフリーランスです)、30分ほどして息子が自室にやってきまして、何を言い出すのかと思ったらなんと、

「さっき教えてもらったやつ、もう一回きちんと教えて」

と言われまして驚いたのでした。いわゆる「勉強」に関して何か説明をして勉強自体が終わり、その後の楽しい「遊び」の時間に至ってから改めて前に聞いた内容を再び説明してくれなんて息子が言ったのは、たぶん初めてなんじゃないかと驚いた訳です。

で、改めて問題の台形に下図の赤線のような補助線を入れてやり、上の線と下の線が平行ならば赤で記す部分が「60°」となるのでアの角度は180－60＝120°であることや、

何故に赤で記す部分が「60°」になるのかと言えば、例えば下図のように台形の左下の部分をちぎってその切れ端を逆さまにして左上に置くと赤のようになるので「60°」になるということを改めて説明しました。

すると「完璧に分かった！」と深く納得をしたような顔をしていました。

知識よりも大切かも知れない心の成長を感じた

自宅の自主勉強では図形の問題に関してももっと難しいものでもスラスラ正答しているので、学校において今回の程度の問題が出来なかったこと自体は最初に聞いて少し残念に感じたのは事実なのですが、

上で説明したような「本質」が深く理解出来ていればそもそも今回程度の問題で「分からない」なんてことには成り得ない訳ですから、「本質が理解出来ていない部分に気付けた」という意味では収穫でありますし、

何より息子自身が算数に関して人より分からなかったことを「悔しい」と感じ、時間を割いてでも説明を聞くことによって自ら深く理解したいと行動してくれたことに非常に嬉しく感じたのでした。

面積の単位の変換(cm2→m2など)を間違えずに確実にする方法 【算数検定7級】

はじめに

現在小学四年生の息子が三年生だった時に算数検定7級を受験したのですが(結果は合格でした)、その際に「面積の単位の変換(cm2→m2など)」に関して間違えずに確実に出来る(と私が考える)方法を教えたのですが、その内容を今回は記します。ちなみに現在(四年生になってから)は算数検定6級を受験し合格しています。

なお、「2乗」の表記についてブログでは小さな上付き文字が書きにくいので、「m2」「cm2」という風に記しますのでご了承下さい。

面積の単位の変換(cm2→m2など)を間違えずに確実にする方法

例題：　□　に当てはまる数字を書きなさい。

　70000cm2　＝　□　m2

という問題で、1m＝100cmですから、1m2＝100×100＝10000cm2なので、答えは70000÷10000＝7m2、という風に教えても(三年生の時の息子は)あまり理解出来ていなかったようでしたので、以下のように教えました。

上図の黒のみの状態を問題用紙の余白に書いて(タテヨコ比など実際と違っている適当な(殴り書き的な)絵で良い)、それで赤の部分を考えれば、直視的で簡単でしょうと教えた訳です。また「700×100」と分けても「350×200」と分けても、それは好きにしたら良いが(面積が変わらない限りタテヨコ比は自由)、どちらか一辺を「100cm＝1m」とすることで掛け算が凄く簡単になると教えました。このやり方で下に示すような問題も最終的には全てマスターしました。

例題：　□　に当てはまる数字を書きなさい。

　5000cm2　＝　□　m2

こちらも上で述べたケースとほとんど同じです。図を書くことで直視的にし、また一辺を「100cm＝1m」とすることで掛け算を簡単にしています。

例題：　□　に当てはまる数字を書きなさい。

　0.7m2　＝　□　cm2

こちらは逆にm2→cm2と変換するパターンですが、「図を書くことで直視的とする」のと「一辺を1m＝100cmとすることにより掛け算を簡単にする」点は全く同じとなります。

例題：　□　に当てはまる数字を書きなさい。

　2km2　＝　□　m2

こちらはkm2→m2の変換ですが内容は上で述べたものと全く同じとなります。

おわりに

今年(四年生)になってから算数検定6級の勉強をした際には、m3→cm3のような体積の単位を変換する問題が出てきましたが、息子は基本的に同じやり方で勝手にやっていました(直方体を書いて考えていた)。

「勝手にやっていました」と書いたのは、今年の6級は前回7級の時ほど手取り足取りは教えずに、先に一人で市販の問題をやらせてみて分からなかった部分だけ後から教えるようにしていたので、これに関しては直方体を書いて云々とは私からは何も教えておらず息子が勝手にやっていた、という意味となります。

以上、算数検定7級の「面積の単位の変換(cm2→m2など)を間違えずに確実にする方法」に関して記しました。

小学三年生に小数の掛け算と割り算を瞬時にマスターさせた方法 【算数検定7級】

はじめに

・ここで記す方法(教え方)が教育的に正しいのかどうかは素人の私には分かりません。また似たような方法が世の中にあるのか(解説ページなどがあるのか)無いのかも敢えて調べずに書いています。なお、現在の私の考えなどは末尾で(余談で)述べます。

・現在小学四年生の息子がまだ三年生だった時(去年)、算数検定の7級(小学五年生程度)を受けることになり、準備期間も短めだったので(検定準備用の勉強をさせたのは一ヶ月弱だったと記憶しています。一日平均30分程度です)、それに出てくる小数の掛け算と割り算の解き方を「その場で思いついた最も簡単と思う方法」で教えたところ、すぐに正答出来るようになったので、そのまま正しい方法(学校で習うような方法)や根本的な概念の部分などは教えずに試験に臨ませました(結果は合格でした)。ちなみに小学四年生になってから(今年)、算数検定6級(小学六年生程度)を受験し合格しています。

・なお、当時の息子は本来的には筆算が必要であるような小数の掛け算割り算を計算するのはその時が初めてでしたが、小数の足し算引き算や簡単な掛け算割り算(例えば1÷2＝0.5など)は既に理解している状態でした。

・その時に教えた方法を以下に記します。

小学三年生に小数の掛け算と割り算を瞬時にマスターさせた方法

小数の掛け算

問題：0.9×3.4＝

解き方：
・9×34と計算する。答えは306。
・どこに小数点を付けるか考える。
・答えは「3.4の0.9倍」とイメージすると、0.306では小さすぎるし30.6では大きすぎると分かる。従って3.06が正しいと分かる。
・従って答えは3.06

小数の割り算

注)上記の掛け算の場合と基本的に同じです。二つの例を示します。

問題その一：30.6÷3.6

解き方：
・306÷36と計算する。答えは8.5。←注)冒頭で述べた通り「1÷2＝0.5」は既に理解出来ているので、この部分の計算はすぐにマスター出来る状態です。
・どこに小数点を付けるか考える。
・答えは「30.6を3～4分割した数字」とイメージすると、0.85では小さすぎるし85では大きすぎると分かる。従って8.5が正しいと分かる。
・従って答えは8.5

問題その二：15.12÷5.6

解き方：
・1512÷56と計算する。答えは27。
・どこに小数点を付けるか考える。
・答えは「15.12を5～6分割した数字」とイメージすると、0.27では小さすぎるし27では大きすぎると分かる。従って2.7が正しいと分かる。
・従って答えは2.7

以上です。このように教えたところ基本的に一回でマスターしまして、それ以降はケアレスミスはもちろんありますが基本的に迷うことは無かったと記憶しています。

おわりに(余談です)

算数だけは小さな頃から私が自前でずっと教えているのですが、原則として「方法論」で教えるのは避けて根本的な部分と言うか概念と言うか、そういう部分を先に教えるようにしていました。従って学校で教える流れとは全く異なると思います。

例えば複数桁の掛け算割り算でも筆算から教えるのではなく、数字の積み重ね(掛け算)や取り崩し(割り算)を根本から教えて、それが理解出来てから「それをメモる便利な方法」として筆算の方法を教えるイメージです(二年生の時にやりました)。

分数なら「分数パズル」という玩具で最初はひたすら遊びながら、ついでという感じで約分や通分の概念をパズルを使って教えて、ある程度それを理解させてから通分を用いる足し算や引き算を教えていました(パズル遊びを始めたのが確か二年生の時で計算を教えたのは三年生の時です)。

そのように理解を積み重ねていると、例えば三年生の後半で、分数の中ではけっこう難しいと思われる「繰り上がり繰り下がりのある、帯分数どうしの足し算引き算」も一度だけ教えたら二回目からは一人でスラスラ計算していましたので、今までの教え方はある程度正しかったのかな、と今では思っています。

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そのような意味で、今回取り上げた小数の掛け算割り算の教え方は完全に「方法論」で教えていますので私の中では「ご法度」でした。試験までの時間的な制約より選択した訳なので、試験が終わってから日々の自主勉強の中で改めて根本の部分を教えなおすつもりでした。

しかしながら、それを教えずに先延ばしになっていたところ、日々の自主勉強などを見ていると、どうも息子はその本質部分にも気付いているような気がしました。

確かにそれまでは小さかったので新しいことは全てを私が教えていましたが、もう小学四年生なので、例えば小数以外のことでも教えたこと「以外」の部分も本質的に頭を使う部分が同じ事柄は「勝手に出来るようになっている」ということが増えてきました。今年の算数検定6級の勉強の際には特にそのように感じました。

今回のような「方法論」で教えたものでもその「本質」部分を勝手に理解出来るようになることもあるのだろうと今ではそのように思っています。

なんせ私自身も親から教えられることもなく、いわゆる学習塾にも行かず、そろばんと公文式で方法論的にひたすら「計算する」ことを繰り返しながら本質部分も全て理解してきた訳ですから。

そんな思いもあり、今回取り上げた小数の掛け算割り算に関しては上で述べた方法以外は全く教えずに「様子見」しています。ちなみに今年受験した算数検定6級の勉強の際にも小数の掛け算割り算は出てきましたが、基本的に正答していたのでどのように考えているかは細かく聞きませんでした。

算数検定6級の勉強の際に関することはまた改めて記したいと思います。

「分数の比を簡単にする」問題の考え方を図解で説明します

はじめに

PCで表現するしやすさの都合上、
分数の表現に関して例えば二分の一でしたら
「1／2」と表現しますのでご了承下さい。

「分数の比を簡単にする」問題の考え方

方法論的な解き方(教え方)

問題．　1／3　：　1／4　を最も簡単な整数の比で表しなさい。

という問題で、その解き方を方法論的に教えるのであれば、

「分母を最小公倍数で通分して、通分した後の分子の数字が答え」

という風になると思います。すなわち、

4／12　：　3／12

と通分して、答えは、

4　：　3

となります。

そのことの本質的な意味

上の計算過程と答えの本質的な意味を図解で説明します。

まず、「比」というのは大きさの関係性です。例えば「50：100」ならもっとも簡単な整数の比で表せば「1：2」ですが、これは「右が左の2倍」ということを表しています。

更に例示すると、例えば「60：90」なら「右は左の1.5倍」ですが、「1：1.5」と書いてしまうと小数を用いてしまっていますので、「最も簡単な整数」で表すならば「2：3」と表す訳です。すなわち右は左の「3／2」倍＝1.5倍です。

以上を踏まえ、冒頭で示した、

問題．　1／3　：　1／4　を最も簡単な整数の比で表しなさい。

を図解すると、

円(まん丸)を「1」として考えた場合の、上図のような「1／3」と「1／4」の大きさの比率を表せと問われていますので、

上図のように、両者を比べる為に「同じ大きさのパーツである1／12」に分割し、左はそれが4つ、右は3つなので、大きさの比率は「4：3」と分かります。以上が、

「分母を最小公倍数で通分して、通分した後の分子の数字が答え」

の本質的な意味となります。

おわりに

以上、「分数の比を簡単にする」問題の考え方を図解で説明させて頂きました。

帯分数どうしの足し算・引き算の「繰り上がり、繰り下がり」は何も難しくない、という点を図解で説明します

はじめに

現在小学四年生の息子がまだ三年生だった時に、「繰り上がり、繰り下がりのある帯分数どうしの足し算、引き算」を教えたところ、(もちろん通分や約分など分数の基礎知識はその前に十分に付けていたという前提ですが)その内容を1日でマスターしまして翌日からは(ケアレスミスはもちろんありますが)一人で普通に計算しているのを見て「やるなぁ」なんて思っていたのですが、よくよく考えてみると「繰り上がり、繰り下がりのある普通の(整数の)足し算、引き算」を十分に理解しているのであれば、それが分数に変わったところで大して難しく感じないのは「当たり前」であると気付きました。

もし普通の(整数の)足し算引き算を筆算などの「やり方」(方法論)でマスターしてしまっていた場合は、それを分数に「応用」するのは難しいのかも知れませんが、「本質」から理解出来ているのであれば、それが整数であっても分数であっても本質的には「全く同じ」である訳ですから、先に覚えた整数の知識は分数の際にも「応用」出来るのだ、と気付いた訳です。

と言う訳で、繰り上がり、繰り下がりのある普通の足し算、引き算が本質的にマスター出来ている子供であれば分数のそれも「全く同じ」(なので難しく無い)という部分を今回は図解で記したいと思います。

なお、足し算でも引き算でも本質的には全く同じですが、足し算よりも引き算のほうが以下で記す「両替」が必須になるという意味で説明に向きますので、ここでは「引き算」を例に取って説明致します(足し算の説明は省略します)。また、説明の為に色分けを使用しています。

PCでの表現のし易さのより、ここでは分数の表現に関して例えば二分の一なら
「1／2」という風に表現している箇所がありますのでご了承下さい。

普通の(整数の)繰り下がりのある引き算の説明

「45－17」という例題で説明します。

下図の「45」(10が4つと、1が5つ)から17を引くと残りがいくつになるかを考えます

一の位の「5」から7を引けないので、下図のように「10」を「1を10個」に両替します。

すると下図のように、「10が3つと、1が15個」となります。

そこから下図のように17を引く、すなわち「10を1つと、1を7つ」消せば、残りは「10が2つと、1が8つ」、すなわち「28」と分かります。これが答えです。

それを筆算で書くと以下の通りです(上の図と色が対応しています)。すなわち、筆算というのは上記の概念を「便利にメモする」ツールに過ぎません(と私は考えています)。

また、筆算など知らなくても上記の概念が理解出来ていれば暗算でも計算出来ますし、覚えきれないからとメモする場合であっても例えば、

・45＝30＋15　
・(この前部から10を、後部から7を引けば)
・20＋8＝28

と答えを出すことが出来ます。

これが「整数の繰り下がりのある引き算」の本質です。

帯分数の繰り下がりのある引き算の説明

次に「分数」の場合を説明します。下式を例に説明します。なお、今回の説明は「通分」は無関係なので敢えて分母は揃えた数字としていますが、分母が異なり「通分」がある場合でも今回の説明対象の「繰り下がり」の本質は何も変わりません。

引く前の「四と五分の一」を図で書くと以下の通りです。ここから「一と五分の二」を引きたい訳ですが、「五分の一」より「五分の二」のほうが大きいので引けません。

そこで下図のように両替します。

両替後は「三と五分の六」となります(下図)。

ここから下図のように「一と五分の二」を引く、すなわち「1」を1つと「1／5」を2つ消せば、残りは「1」が2つと「1／5」が4つ、すなわち「二と五分の四」と分かります。これが答えです。

これを分数の計算式で書くと以下の通りです。

これが「帯分数の繰り下がりのある引き算」の本質です。

おわりに(両方とも「本質」は全く同じ)

整数の繰り下がりでも帯分数の繰り下がりでも「下の位に関して引かれる数よりも引く数のほうが大きくて引けないので、上の位を1つ両替してそれを下の位に足しこむ」という部分の「本質」は全く同じであることがご理解頂けたかと思います。

また、今回は説明は省略しましたが「足し算」に関しても全く同様ですので、普通の(整数の)繰り上がり、繰り下がりのある足し算、引き算が十分に理解出来ている人(子供)であれば、帯分数のそれを理解するのは比較的容易いのではないかと個人的にはそのように思っています。